概率的运算法则
内容提要
1. 概率的加法 2. 条件概率 3. 乘法公式
4. 事件的独立性
5. 全概率公式与贝叶斯公式
概率的加法公式
对任意的两个事件A，B
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 。
A
B S
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推论
1）当事件A，B互不相容时
P( A B) P( A) P( B)
推广2 : 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件 n 2, ,
且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A A1 A2 ) ...
P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( An A1 A2 An1 ).
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
1 1 若 P ( A) , P ( B ) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
A，B互斥
B
A
故 P ( AB) P ( A) P ( B ) .
由此可见两事件互斥但不独立.
注意 三个事件相互独立
三个事件两两相互独立
推广 设 A1 , A2 ,, An 是 n 个事件, 如果对于任意
k (1 k n), 任意 1 i1 i2 ik n, 具有等式
P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik ),
如在事件Ａ发生的条件下求事件Ｂ发 生的概率，将此概率记作P(Ｂ|Ａ). 一般 P(Ｂ|Ａ) ≠ P(Ｂ)
那么 P(Ｂ|Ａ) ＝？
，
(2) 定义
设 A, B 是两个事件, 且 P ( A) 0, 称 P ( AB) P ( B A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相容, 且由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为 :
3 3 4 3 p2 p p (1 p) p (1 p)2 . 2 2
3
由于 p2 p1 p2 (6 p3 15 p2 12 p 3) 3 p2 ( p 1)2 (2 p 1).
2）若A,B,C为两两互不相容的事件，则
P( A B C ) P( A) P( B) P(C )
3）若A1，A2,…An为两两互不相容的事件，则
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) .... P( An )
3）若A1，A2,…An为完备事件组，则

P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B) =0.2032+0.0095 =0.2127 解法2:
P( D) 1 P( D) 1 C 32
2
C
2 36
0.2127
例2 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率
急诊病人的概率是1/6.求第 r 个到达的病人为首 例急诊病人的概率.设各到达的病人是否为急诊 病人相互独立.
解 记Di为“第i个到达者为急诊病人”，i 1, 2, Ar为“第r个到达者为首例急诊病人”，
则 Ar D1 D2 Dr 1 Dr
1 r 1 1 P ( Ar ) P ( D1 ) P ( D2 ) P ( Dr 1 ) P ( Dr ) (1 ) . 6 6
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件 .
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立
注意： 若事件 A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立.
定理 设 A, B 是两事件, 且 P ( A) 0. 若 A, B 相 互独立, 则 P ( B A) P ( B ). 反之亦然. 证明 由P ( AB) P ( A) P ( B) 必要性 P ( AB ) P ( A) P ( B ) P( B) P ( B A) P ( A) P ( A) P( B A) P( B).
B
A
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
请同学们思考 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如
B AB
A
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
例 某一治疗方法对一个病人有效的概率为0.9 ， 今对3个病人进行了治疗，求对3个病人的治疗 中，至少有一人是有效的概率.设对各个病人的 治疗效果是相互独立的.
解 设A “对3个病人治疗中, 至少1人有效的" Ai “对第 i 个人有效”则 ,
P ( A) 1 P ( A ) P( A1 A2 A3 )
1 1 1 当 p 时 , p2 p1 ; 当 p 时 , p2 p1 . 2 2 2
1 故当 p 时, 对甲来说采用五局三胜 制有利 . 2 1 当 p 时, 两种赛制甲最终获胜的 概率是 2 1 相同的, 都是 . 2
全概率公式
(1) 完备事件组（样本空间的划分）
所以 P ( B A)
P ( AB) 0.4 1 . 0.8 2 P ( A)
乘法公式
设 P( B) 0, 则有 P( AB) P( A B)P( B).
推广 : 设 A1 , A2 , A3为事件 且 P( A1 A2 ) 0, 则有 1 ,
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ).
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 3 1 7 9 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
事件的相互独立性
引例：华夏保安公司有行政管理人员100名，其中年轻 人40名，该公司规定每天从所有行政人员中随机挑选 一人为当天值班人员，且不论其是否前一天刚好值过 班，现计算下列两个事件的概率。 1）已知第一天选出的是年轻人， 第二天选出的也是 年轻人的概率； 2）第二天选出的是年轻人的概率。 解: 设A={第一天选出的是年轻人} B={第二天选出的是年轻人}
同理可得
P ( B) 0 时, P ( A B)
P ( AB) P ( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
例 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A =“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B= “ 能活 25 岁以上”的事件, P ( AB) P ( B A) . 则所求概率为 P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, P ( AB ) P ( B ),
解 采用三局二胜制 ,甲最终获胜,
胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”,
“甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容,
于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 p2 2 p2 (1 p).
采用五局三胜制甲最终获胜, 至少需比赛 3 局, ,
且最后一局必需是甲胜 而前面甲需胜二局. ,
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是:
P( A1 ) P( A2 ) .... P( An ) P( A1 A2 ... An ) 1
4）事件 A, A 为互相对立事件
P( A) 1 P( A)
5) 若事件A B,则
P(A-B)=P(A)-P(B)
例1
盒中有32只红球, 4只白球,从中任取2支,求: 至少有1只白球的概率. 解：P(恰好1只白球)=P(A) 1 1 2 = C 4 C 32 / C 36 0.2032 P(恰好2只白球)=P(B) 2 2 = C 4 C 36 0.0095
解
事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8 (3) P( A B) P( A B) 0.2
条件概率
在解决许多概率问题时，往往需要在 某些附加信息(条件)下求事件的概率.
（4）三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
由P( B A) P( B). 充分性 P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B) P ( AB) P ( A) P ( B)事件 ,
A 与 B, A 与 B , A 与 B 也相互独立.
例题讲解
例 观察表明， 一家医院的挂号处，新到者是一

P( A | B)