【例3】 已知点F( ,0),直线l:x=- ,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线l与
线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是 ( )
A.双曲线
B.椭圆
C.圆
D.抛物线
【答案】 D 【解析】 由已知得,|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为 焦点,l为准线的抛物线.
【例4】 (2016年全国Ⅰ高考,理20)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0) 且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
8.一动圆与圆O:x2+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是
()
A.抛物线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线一支
【答案】 D 【解析】 令动圆半径为R,则有 曲线定义.故选D.
则|MO|-|MC|=2,满足双
9.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦OA,则弦的中点M的轨迹方程 是.
(1)求动点M的轨迹C的方程. 【变形】 当距离关系常数不是大于1,而是小于1,或等于1是的情形呢?(对应双曲线, 抛物线). (2)(略)
【解析】 (1)点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,
则
两边平方可得(x-4)2=4[(x-1)2+y2],化简得3x2+4y2=12,所以,动点M
【解题规律】 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从 而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.
【例7】 已知点A(-3,2)、B(1,-4),过A、B作两条互相垂直的直线l1和l2,求l1和l2的 交点M的轨迹方程.
【解析】 由平面几何知识可知,当△ABM为直角三角形时,点M的轨迹是以AB为直径的
【解析】 如图,以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系. 由题意,a,c,b构成等差数列,∴2c=a+b,即|CA|+|CB|=2|AB|=4,又|CB|>|CA|,∴C的轨 迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,a'=2,c'=1,b'= ,故C的轨迹方程为
7.(2013高考全国新课标Ⅰ卷文理科)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与 圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求M的轨迹方程; (2)(略).
5.参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的x、y之间的关系,则可借助中间变量 (参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程这种 求轨迹方程的方法叫做参数法.
【解题规律】 (1)用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强,也是学生较 难掌握的一类问题. (2)用参数法求解时,选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,一般参 数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线 的斜率,点的横、纵坐标等.也可以没有具体的意义.常见的参数有:斜率、截距、定比、 角、点的坐标等. (3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响,要特别注意 消参前后保持范围的等价性. (4)多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情 况下,能整体处理时,方程个数可减少).
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)(略).
【解析】 (1)证明:圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而A(-1,0),|AD|=4,如图, ∵BE∥AC,则∠C=∠EBD,由AC=AD=r,得∠D=∠C,∴∠D=∠EBD,则EB=ED,则 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4(定值). 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,|EA|+|EB|=4(定值). 由椭圆定义可得点E的轨迹是:以A、B为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,得a=2,c=1,所以点 E的轨迹方程为
4.已知动圆G经过点F(1,0)并且直线l:x=1相切,求动圆圆心G的轨迹方程.
【解析】 由抛物线的定义知动圆圆心G的轨迹为抛物线,F为焦点,直线l为准线, 且 =1得p=2,∴动圆圆心G的轨迹方程为y2=4x.
5.已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列,且 a>c>b,|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.
第十一章 圆锥曲线
第4节 求轨迹方程的专题训练
1.轨迹:一个点在空间移动,它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹. 即:符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集 合,叫做满足该条件的点的轨迹. 2.求轨迹方程的方法:(1)直接法;(2)定义法;(3)相关点法;(4)参数法和交轨法等. 3.求轨迹方程注意事项:求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关 系,正确进行化简与计算是必须具备的基本能力;求出轨迹方程后,容易忽略x的范围,导致 轨迹图形出错. 检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变形;二是是否符合题目的 实际意义.
Байду номын сангаас
的轨迹方程为
2.定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种特殊曲线(如直线或圆锥曲线)的定义或 特征,则可根据定义先设方程,再求出该曲线的相关参量,从而得到动点的轨迹方程.
【解题规律】 熟悉一些常见的基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键. (1)圆:在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合. (2)椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)的点的轨迹. (3)双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)的点的轨迹. (4)抛物线:到定点与定直线距离相等的点的轨迹.
3.(《必修2》课本P124B组2)长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动,求线段AB的 中点M的轨迹方程.
【解析】 解题思路:求轨迹方程要充分挖掘几何条件,此题中找到了OM= AB这一等 量关系是此题成功的关键所在.
设点M的坐标为(x,y)由平面几何的中线定理:在直角三角形AOB中,
∴M点的轨迹是以原点为圆心,以a为半径的圆,其轨迹方程是x2+y2=a2.
圆.
此圆的圆心即为AB的中点(-1,-1),半径
可得方程为
(x+1)2+(y+1)2=13.
故M的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=13.
【例8】 (2014高考全国新课标Ⅰ卷文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动 直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
①式两边平方,得:(x-a)2+(y-b)2=r2,② 若点M(x,y)在圆上,由上述推理可知,点M的坐标适合方程②; 反之,点M(x,y)的坐标适合方程②,这就说明点M与圆心A的距离为r,即点M在圆心为A 的圆上.
【例2】 (2013高考陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0) 的距离的2倍.
【解析】 解题思路:如图,点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满 足方程(x,y).建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,求出点M 的轨迹方程.
4.几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点 满足的条件,然后得出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做几何法.
10.点M 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是
.
【答案】 y2=16x 【解析】 解题思路:点M到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距 离小1,意味着点M到点F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.由抛物线标准方程可写 出点M的轨迹方程.
依题意,点M到点F(4,0)的距离与它到直线x=-4的距离相等.则点M的轨迹是以F(4,0) 为焦点、x=-4为准线的抛物线.故所求轨迹方程为y2=16x.
【例10】 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满 足AO⊥BO(如图所示).求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程.
6.交轨法:求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这 些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,这种方法称之交轨法.
【解题规律】 “相关点法”的基本步骤: (1)设点:设所求的点(被动点)坐标为(x,y),相关点(主动点)坐标为(x0,y0). (2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.
【例5】 (必修2课本P122例5)线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上 运动,求AB的中点M的轨迹.
13.已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|=4.动圆M与圆O1内切,又与 圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.
【解题规律】 用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去 参数,得到交点的两个坐标间的关系即可.交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况.
2.(2009新课标文)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个 顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程; (2)若P为椭圆C的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点, =e(e为椭圆C的离心率 ),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
(1)求C的方程; (2)(略).
【解析】 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆心P为(x,y),半径为R.