1.2.2 研究平抛运动的规律(二)[学习目标] 1.会从理论上分析平抛运动水平方向和竖直方向的运动特点.2.会计算平抛运动两个方向的位移和速度.3.会利用平抛运动的规律解决实际问题.研究平抛运动的规律1.研究方法：分别在水平和竖直方向上运用两个分运动规律求分速度和分位移，再用平行四边形定则合成得到平抛运动的速度、位移等.2.平抛运动的速度(1)水平方向：不受力，为匀速直线运动，v x ＝v 0. (2)竖直方向：只受重力，为自由落体运动，v y ＝gt . (3)合速度：大小：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋(gt )2；方向：tan θ＝v y v x ＝gtv 0(θ是v 与水平方向的夹角). 3.平抛运动的位移(1)水平位移x ＝v 0t ，竖直位移y ＝12gt 2.(2)t 时刻平抛物体的位移：s ＝x 2＋y 2＝(v 0t )2＋(12gt 2)2，位移s 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α＝y x ＝gt2v 0.4.平抛运动的轨迹方程：y ＝g 2v20x 2，即平抛物体的运动轨迹是一个抛物线. [即学即用]1.判断下列说法正误.(1)平抛运动的加速度是恒定不变的.(√) (2)平抛运动的速度与时间成正比.(×) (3)平抛运动的位移与时间的二次方成正比.(×)(4)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖直向下.(×)(5)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致.(×)2.在80 m 的低空有一小型飞机以30 m/s 的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物体，g 取10 m/s 2，不计空气阻力，那么物体落地时间是 s ，它在下落过程中发生的水平位移是 m ；落地时的速度大小为 m/s. 答案 4 120 50 解析 由h ＝12gt 2，得：t ＝2hg，代入数据得：t ＝4 s水平位移x ＝v 0t ，代入数据得：x ＝30×4 m＝120 mv 0＝30 m/s ，v y ＝2gh ＝40 m/s故v ＝v 20＋v 2y 代入数据得v ＝50 m/s.一、平抛运动的规律及应用[导学探究] 如图1所示为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹.图1(1)小球做平抛运动，运动轨迹是曲线，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？ (2)以抛出时刻为计时起点，求t 时刻小球的速度大小和方向. (3)以抛出时刻为计时起点，求t 时刻小球的位移大小和方向.答案 (1)一般以初速度v 0的方向为x 轴的正方向，竖直向下的方向为y 轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点建立平面直角坐标系.(2)如图，初速度为v 0的平抛运动，经过时间t 后，其水平分速度v x ＝v 0，竖直分速度v y ＝gt .根据运动的合成规律可知，小球在这个时刻的速度(即合速度)大小v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋g 2t 2，设这个时刻小球的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝v y v x ＝gt v 0.(3)如图，水平方向：x ＝v 0t竖直方向：y ＝12gt 2合位移：s ＝x 2＋y 2＝(v 0t )2＋(12gt 2)2合位移方向：tan α＝y x ＝gt2v 0(α表示合位移方向与水平方向之间的夹角). [知识深化] 1.平抛运动的规律项目运动速度 位移 加速度 合成、分解图示水平分运动(匀速直线) v x ＝v 0 x ＝v 0t a x ＝0竖直分运动(自由落体)v y ＝gty ＝12gt 2a y ＝g合运动(平抛运动)v ＝v 20＋(gt )2tan θ＝gtv 0s＝(v 0t )2＋(12gt 2)2tan α＝gt2v 0a ＝g 竖直向下2.平抛运动的时间和水平射程 (1)飞行时间：由h ＝12gt 2，得t ＝2hg，即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关.(2)水平射程：平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程与初速度v 0和下落高度h 有关，与其他因素无关.例1 (多选)有一物体在离水平地面高h 处以初速度v 0水平抛出，落地时速度为v ，竖直分速度为v y ，水平射程为l ，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( )A.lv 0B. h 2gC.v 2－v 20g D.2h v y答案 ACD解析 由l ＝v 0t 得物体在空中飞行的时间为l v 0，故A 正确；由h ＝12gt 2，得t ＝2hg，故B错误；由v y ＝v 2－v 20以及v y ＝gt ，得t ＝v 2－v20g，故C 正确；由于竖直方向为初速度为0的匀变速直线运动，故h ＝v y 2t ，所以t ＝2hv y，D 正确.例2 如图2所示，排球场的长度为18 m ，其网的高度为2 m.运动员站在离网3 m 远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出.设击球点的高度为2.5 m ，问：球被水平击出时的速度v 在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(g 取10 m/s 2)图2答案 见解析解析 如图所示，排球恰触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰出界时其轨迹为Ⅱ，根据平抛物体的运动规律x ＝v 0t 和y ＝12gt 2可得，当排球恰触网时有x 1＝3 m ，x 1＝v 1t 1①h 1＝2.5 m －2 m ＝0.5 m ，h 1＝12gt 21②由①②可得v 1≈9.5 m/s. 当排球恰出界时有：x 2＝3 m ＋9 m ＝12 m ，x 2＝v 2t 2③ h 2＝2.5 m ，h 2＝12gt 22④由③④可得v 2≈17 m/s.所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：9.5 m/s<v <17 m/s.(1)将平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，是求解平抛运动的基本方法.(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找出产生临界的条件.二、平抛运动的两个重要推论 [导学探究]1.以初速度v 0水平抛出的物体，经时间t 后速度方向和位移方向相同吗？两量与水平方向夹角的正切值有什么关系？答案 方向不同.如图所示，tan θ＝v y v x ＝gtv 0.tan α＝y A x A ＝12gt 2v x t ＝gt 2v 0＝12tan θ.2.结合以上结论并观察速度的反向延长线与x 轴的交点，你有什么发现？答案 把速度反向延长后交于x 轴的B 点，由tan α＝12tan θ，tan α＝y A x A ，tan θ＝y Ax A －OB 可知OB ＝x A2，即B 为此时水平位移的中点.[知识深化]1.做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.2.做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.例3 如图3所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则(不计空气阻力)( )图3A.当v1>v2时，α1>α2B.当v1>v2时，α1<α2C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关答案 C解析小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan α＝v yv x＝gtv0，故可得tan α＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是α，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确.三、与斜面结合的平抛运动的问题[导学探究] 跳台滑雪是勇敢者的运动.在利用山势特别建造的跳台上，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，示意图如图4所示.请思考：图4(1)运动员从斜坡上的A点水平飞出，到再次落到斜坡上的B点，根据斜面倾角可以确定运动员位移的方向还是运动员速度的方向？(2)运动员从斜面上的A点水平飞出，到运动员再次落到斜面上，他的竖直分位移与水平分位移之间有什么关系？答案(1)位移的方向(2)yx＝tan θ[知识深化] 常见的两类情况1.顺着斜面抛：如图5所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角.图5结论有：(1)速度方向与斜面夹角恒定；(2)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝y x ＝12gt 2v 0t ＝gt2v 0；(3)运动时间t ＝2v 0tan θg.2.对着斜面抛：做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角，如图6所示.图6结论有：(1)速度方向与斜面垂直；(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝v 0v y ＝v 0gt； (3)运动时间t ＝v 0g tan θ.例4 女子跳台滑雪等6个新项目已加入2014年冬奥会.如图7所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆.设一位运动员由斜坡顶的A 点沿水平方向飞出的速度v 0＝20 m/s ，落点在斜坡底的B 点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力.(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图7(1)运动员在空中飞行的时间t ； (2)A 、B 间的距离s . 答案 (1)3 s (2)75 m解析 (1)运动员由A 点到B 点做平抛运动，则水平方向的位移x ＝v 0t 竖直方向的位移y ＝12gt 2又y x＝tan 37°，联立以上三式得t ＝2v 0tan 37°g＝3 s (2)由题意知sin 37°＝y s＝12gt 2s得A 、B 间的距离s ＝gt 22sin 37°＝75 m.例5如图8所示，以9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(g取9.8 m/s2，不计空气阻力)( )图8A.23s B.223s C. 3 s D.2 s答案 C解析如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度v y，则有tan 30°＝v0v y，v y＝gt，解两式得t＝v yg＝3v0g＝ 3 s，故C正确.1.(平抛运动规律的理解)如图9所示，滑板运动员以速度v0从离地高h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上.忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )图9A.v0越大，运动员在空中运动时间越长B.v0越大，运动员落地瞬间速度越大C.运动员落地瞬间速度与高度h无关D.运动员落地位置与v0大小无关答案 B解析运动员在竖直方向做自由落体运动，运动员做平抛运动的时间t＝2hg，只与高度有关，与速度无关，A项错误；运动员的末速度是由初速度和竖直方向上的速度合成的，合速度v＝v20＋v2y，初速度越大，合速度越大，B项正确；运动员在竖直方向上的速度v y＝2gh，高度越高，落地时竖直方向上的速度越大，故合速度越大，C项错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x ＝v 0t ＝v 02hg，故落地的位置与初速度有关，D 项错误.2.(平抛运动规律的应用)(多选)物体以初速度v 0水平抛出，若不计空气阻力，重力加速度为g ，则当其竖直分位移与水平分位移相等时，以下说法中正确的是( )A.竖直分速度等于水平分速度B.瞬时速度大小为5v 0C.运动的时间为2v 0gD.运动的位移为22v20g答案 BCD解析 因为平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由位移相等可知v 0t ＝12gt 2，解得t ＝2v 0g ，又由于v y ＝gt ＝2v 0，所以v ＝v 2x ＋v 2y ＝5v 0，s ＝x 2＋y 2＝2v 0t ＝22v20g，故正确选项为B 、C 、D.3.(平抛运动的推论)如图10所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，不计空气阻力，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )图10A.tan φ＝sin θB.tan φ＝cos θC.tan φ＝tan θD.tan φ＝2tan θ 答案 D解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D 正确.4.(斜面上的平抛运动)如图11所示，小球以15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上.在这一过程中，(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图11(1)小球在空中的飞行时间； (2)抛出点距撞击点的竖直高度. 答案 (1)2 s (2)20 m解析 (1)将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示.由图可知θ＝37°，φ＝90°－37°＝53°.tan φ＝gt v 0，则t ＝v 0g tan φ＝1510×43s ＝2 s.(2)h ＝12gt 2＝12×10×22m ＝20 m.课时作业一、选择题(1～6题为单选题，7～10题为多选题)1.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.若不计空气阻力，则( )A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定 答案 D解析 垒球击出后做平抛运动，在空中运动时间为t ，由h ＝12gt 2得t ＝2hg，故t 仅由高度h 决定，选项D 正确；水平位移x ＝v 0t ＝v 02hg，故水平位移x 由初速度v 0和高度h 共同决定，选项C 错误；落地速度v ＝v 20＋(gt )2＝v 20＋2gh ，故落地速度v 由初速度v 0和高度h 共同决定，选项A 错误；设v 与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝2ghv 0，故选项B 错误.2.在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行.从飞机上每隔1 s 释放1包物品，先后共释放4包(都未落地)，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品( ) A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的C.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的 答案 C3.如图1所示，在同一竖直面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 和v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 和t b 后落到与两抛出点水平距离相等的P 点.若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )图1A.t a ＞t b ，v a ＜v bB.t a ＞t b ，v a ＞v bC.t a ＜t b ，v a ＜v bD.t a ＜t b ，v a ＞v b 答案 A解析 由于小球b 距地面的高度小，由h ＝12gt 2可知t b ＜t a ，而小球a 、b 运动的水平距离相等，由x ＝v 0t 可知，v a ＜v b ，由此可知A 正确.4.如图2所示，在一次空地演习中，离地H 高处的飞机发射一颗炮弹，炮弹以水平速度v 1飞出，欲轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v 2竖直向上发射炮弹进行拦截，设飞机发射炮弹时与拦截系统的水平距离为s ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足( )图2A.v 1＝v 2B.v 1＝sH v 2 C.v 1＝Hsv 2 D.v 1＝H sv 2答案 B解析 当飞机发射的炮弹运动到拦截炮弹正上方时，满足s ＝v 1t ，h ＝12gt 2，此过程中拦截炮弹满足H －h ＝v 2t －12gt 2，即H ＝v 2t ＝v 2·s v 1，则v 1＝sHv 2，故选项B 正确.5.如图3所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )图3A.小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB.小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D.若小球初速度增大，则θ减小 答案 D解析 速度、位移分解如图所示，v y ＝gt ，v 0＝v y tan θ＝gttan θ，故A 错.设位移方向与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α，α≠θ2，故B 错.平抛运动的时间由下落高度决定，与水平初速度无关，故C 错.由tan θ＝v y v 0知，v 0增大则θ减小，D 正确.6.两相同高度的斜面倾角分别为30°、60°，两小球分别由斜面顶端以相同水平速率v 抛出，不计空气阻力，如图4所示，假设两球都能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )图4A.1∶2B.3∶1C.1∶9D.9∶1 答案 C解析 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x ，分别将30°、60°代入可得两球平抛所经历的时间之比为1∶3，两球下落高度之比为1∶9，选项C 正确.7.如图5所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平地跳跃并离开屋顶，在下一栋建筑物的屋顶上着地.如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s ，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g 取 10 m/s 2)( )图5A.他安全跳过去是可能的B.他安全跳过去是不可能的C.如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应大于6.2 m/sD.如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5 m/s 答案 BC解析 由h ＝12gt 2，x ＝v 0t将h ＝5 m ，x ＝6.2 m 代入解得：安全跳过去的最小水平速度v 0＝6.2 m/s ，选项B 、C 正确.8.如图6所示，在斜面顶端的A 点以速度v 平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( )图6A.AB ∶AC ＝2∶1B.AB ∶AC ＝4∶1C.t 1∶t 2＝2∶1D.t 1∶t 2＝2∶1 答案 BC解析 由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，则tan θ＝y x ＝gt2v 0，代入数据联立解得t 1∶t 2＝2∶1，C 正确，D 错误.它们竖直位移之比y B ∶y C ＝12gt 21∶12gt 22＝4∶1，所以AB ∶AC ＝y B sin θ∶y Csin θ＝4∶1，故A 错误，B 正确.9.如图7所示，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( )图7A.1 m/sB.2 m/sC.3 m/sD.4 m/s 答案 AD解析 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处，如图所示，第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s ，第二种可能：小球落在半圆右侧，v 0t ＝R ＋R 2－h 2＝1.6 m ，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确.10.如图8所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L ，重力加速度取g ，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( )图8A.球的速度v 等于Lg 2HB.球从击出至落地所用时间为2H gC.球从击球点至落地点的位移等于LD.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关 答案 AB解析 由平抛运动规律知，在水平方向上有：L ＝vt ，在竖直方向上有：H ＝12gt 2，联立解得t ＝2Hg，v ＝Lg 2H，所以A 、B 正确；球从击球点至落地点的位移为s ＝H 2＋L 2，C 、D 错误.二、非选择题11.如图9所示，一小球从平台上水平抛出，不计空气阻力，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，取g ＝10 m/s 2.(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：图9(1)小球水平抛出的初速度v 0的大小；(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x . 答案 (1)3 m/s (2)1.2 m解析 小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，h ＝12gt 2，v y ＝gt由题图可知：tan α＝v y v 0＝gtv 0代入数据解得：v 0＝3 m/s ，x ＝1.2 m.12.如图10所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，不计空气阻力，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图10(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值. 答案 (1)6.75 m 0.9 s (2)1.5解析 (1)如图所示，设小球落到B 点时速度的偏转角为α，运动时间为t .则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得t ＝0.9 s由x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)在B 点时，tan α＝v y v 0＝gtv 0＝1.5.13.如图11所示，水平地面上有一高h ＝4.2 m 的竖直墙，现将一小球以v 0＝6.0 m/s 的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离s ＝3.6 m 、离地面高H ＝5.0 m ，不计空气阻力，不计墙的厚度.重力加速度g 取10 m/s 2.图11(1)求小球碰墙点离地面的高度h 1.(2)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v 的大小应满足什么条件？答案 (1)3.2 m (2)初速度v ≥9.0 m/s解析 (1)小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t ，由平抛运动的规律有： 水平方向上：s ＝v 0t① 竖直方向上：H －h 1＝12gt2②由①②式并代入数据可得h 1＝3.2 m.(2)设小球以v 1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t 1，由平抛运动的规律有：水平方向：s ＝v 1t 1③竖直方向：H －h ＝12gt 21④由③④式并代入数据可得v 1＝9.0 m/s ，所以小球越过墙要满足：初速度v ≥9.0 m/s.。