第2 讲 第27页
2.3.2 一般仿射变换
仿射变换
一个非奇异线性变换接上一个平移变换
q x a11 q a y 21 1 0 a12 a22 0 t x px p ty y 1 1
A q HA p T 0
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
（没有非各向同性放缩 ）
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5
第2 讲
第32页
ห้องสมุดไป่ตู้
2.3.3 特殊仿射变换
2. 等距变换
等距（isometry）指在2-D空间中保持 两点间 所有距离（iso表示相同，metric表示测度）
R q HI p T 0 t p 1
x' e cos y ' e sin 1 0
e sin e cos 0
t x x t y y 1 1
e = 1，那么等距还能保持朝向且是欧氏变换。e = –1，将反 转朝向，即变换矩阵相当于一个镜像与一个欧氏变换的组合
完全在一个图像子集中的像素组成的通路上的像素 集合构成该图像子集中的一个连通组元。 如果 S 中只有1个连通组元，即 S 中所有像素都互相
连通，则称 S 是一个连通集。
第2 讲 第11页
2.1.3 像素间的距离
像素在空间中的接近程度可用像素间的距离测量。
设有3个像素p，q，r，坐标(x, y)，(s, t)，(u, v) 距离量度函数需满足下面三个条件：
s (> 0)表示各向同性放缩，R是一个特殊的2 × 2正交 矩阵（RTR = RRT = I），对应这里的旋转。典型特例为纯旋 转（此时t = 0）和纯平移（此时R = I） 。
第2 讲 第31页
2.3.3 特殊仿射变换
相似变换的性质：
• 保形性（保持形状）或保角性 • 相似变换可以保持两条曲线在交点处的角度 平面上的相似变换有4个自由度，所以可根 据2组点的对应性来计算。
第2 讲
第22页
2.2.2 坐标变换讨论
坐标变换
反变换
T 1 1 0 x0 0 1 y 0 0 0 1
S 1 0 1 S x 0 1 Sy 0 0 0 0 1
-1 R
cos( ) sin( ) 0 cos sin( ) cos( ) 0 sin 0 0 0 1
r
4-邻域——N4(p)：
r
p r
r
对角邻域——ND(p)：
8-邻域——N8(p)：
s r s
第2 讲
s p s
s
s
r p r
s r s
第5页
2.1.2 像素间的连接
（adjacency, 邻接）vs. (connectivity, 连接)
邻接：邻接仅考虑像素间的空间关系
连接：两个像素是否连接取决于下面2条件：
第2 章
图像几何变换
2.0 成像几何
2.1 像素间联系
2.2 基本坐标变换 2.3 形态变换 2.4 几何失真校正
第2 讲 第1页
2.0 成像几何
1、投影变换
将3-D客观场景投影到2-D图像平面
成像过程
三个坐标系统： 1）世界坐标系统 XYZ 2）摄像机坐标系统 xyz 3）图像平面 xy 从 XYZ 到 xyz，从 xyz 到 xy
sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
第20页
0 1 0 0
sin 0 cos 0
cos sin R 0 0
2.2.2 坐标变换讨论
变换级连
对一个坐标为 v 的点的平移、放缩、绕 Z 轴 旋转变换可表示为：
第2 讲
第26页
2.3.1 变换体系
投影变换
通用的非奇异齐次线性变换
A q HP p T v t p u
A是一个2×2的非奇异矩阵，t是一个2×1的矢量， 而矢量v = [v1, v2]T
其中矩阵H只能定义一个比例因子，可用8个独立的 参数表示，因此，一个投影变换共有8个自由度（degrees of freedom，dof），可根据4组点的对应性来计算 。
连通 ：连接是连通的一种特例，若通路上的所有像素灰
度值均满足连接特性的相似准则，则p和q是连通的。
第2 讲
第10页
像素集合的邻接，连接和连通
S T
0 0 0 1 1 0 0 0 1
像素集合的邻接和连通
对2个图像子集 S 和 T 来说，如果S中的一个或一些
像素与 T 中的一个或一些像素邻接，则可以说2个图像子集 S 和 T 是邻接的。
将单个区域映射为一个组合区域
将一个组合区域映射为单个区域
第2 讲
第25页
2.3.1 变换体系
投影变换
q = Hp
q x h11 q h y 21 qz h31 h12 h22 h32 h13 p x p h23 y h33 pz
v' R S(Tv ) Av
用单个变换矩阵的方法可对点矩阵v 变换 这些矩阵的运算次序一般不可互换
第2 讲 第21页
2.2.2 坐标变换讨论
变换的推广(3-点映射变换)：将一个三角形映射
为另一个三角形，而将一个矩形映射为一个平行 四边形;
拉伸(stretch):一个方向放大，其正交方向缩小； 剪切(shearing)：仅水平或垂直坐标之一发生平移 ；
距离量度函数（点p(x,y),q(s,t))
(1) 欧氏（Euclidean）距离
DE ( p, q) [( x s)2 ( y t )2 ] 1 / 2
(2) 城区（city-block）距离(pq间的D4距离）
D4 ( p, q) x s y t
(3) 棋盘（chessboard）距离(pq间的D8距离）
1 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
0 0 1
第7页
像素间的连接方式
3种连接
(3) m-连接（混合连接）： 2个像素 p 和 r 在V 中取值 且满足下列条件之一
① r 在N4(p)中
② r 在ND(p)中且集合N4(p)∩N4(r)不包含V中取值 （这个集合是由 p 和 r 的在V中取值的 4-连接像素组成的）
2.2.1 图像坐标变换
旋转变换（绕X轴，Y轴，Z轴）
1 0 R 0 0 cos 0 R sin 0
第2 讲
0 cos sin 0 0 0 0 1
0 sin cos 0
0 0 0 1
第2 讲 第8页
像素间的连接方式
3种连接
混合连接的应用：消除8-连接可能产生的歧义性
原始图 8-连接 m-连接
第2 讲
第9页
像素间的连通
通路：由一系列依次连接的像素组成
从具有坐标(x, y)的像素p到具有坐标(s, t)的像素q的 一条通路由一系列具有坐标(x0, y0)，(x1, y1)，…，(xn, yn)的 独立像素组成。这里(x0, y0) = (x, y)，(xn, yn) = (s, t)，且(xi, yi)与(xi-1, yi-1)邻接，其中1 ≤ i ≤ n，n为通路长度 ；
1. 相似变换
矩阵表达：
q x s cos q y s sin 1 0 s sin s cos 0
t p 1
t x p x t y p y 1 1
分块矩阵：
sR q HS p T 0
D8 ( p, q) max ( x s , y t )
第2 讲 第13页
2.1.3 像素间的距离
距离量度函数，对p(0,0),q(4,3)两点
距离计算示例
DE = 5 D4 = 7 D8 = 4
第2 讲
第14页
2.1.3 像素间的距离
距离量度函数
等距离轮廓图案
D4距离
3 3 3 2 3 2 1 3 2 2 1 0 1 3 2 3 1 2 3 2 3
(1) ( D( p, q) 0 ( D( p, q) 0 当且仅当
两个像素之间的距离总是正的
p q)
(2) (3)
第2 讲
D( p, q) D( q, p)
距离与起终点的选择无关
D( p, r ) ≤ D( p, q) D( q, r ) 最短距离是沿直线的
第12页
2.1.3 像素间的距离
- sin cos 0
0 0 1
第23页
第2 讲
2.3 形态变换 2.3.1 2.3.2 变换体系 一般仿射变换
2.3.3
2.3.4
特殊仿射变换
变换的层次
第2 讲
第24页
2.3.1 变换体系
形态变换
将平面区域映射到平面区域
(1) 将一个组合区域映射为另一个组合区域
(2)
(3)
第2 讲
第16页
2.1.3 像素间的距离
用距离定义邻域
考虑在空间点 (xp, yp)的像素 p 4-邻域——N4(p) 8-邻域——N8(p)
N 4 ( p) r D4 ( p, r ) 1
N8 ( p) r D8 ( p, r ) 1
第2 讲
第17页
2.2 基本坐标变换 2.2.1 2.2.2 图像坐标变换 坐标变换讨论
D8距离
2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2