上沿行方向与列方向分别移动Δi与Δj。假设
平移后的像素坐标为（i’, j’)。则平移计算公
式为：
i ' i i

j'

j
j
注意：i与j是原图像的像素坐标，i’与j’是平移后 的图像像素坐标。
4.1.1 图像的平移
将图像进行平移， 取Δi＝1与Δj＝2
i ' i 1

由于基于等间隔采样的方法无法反映未被采样的像素信息。为 此可采用基于局部均值的图像缩小方法，其实现步骤如下： (1) 计算新图像的大小，计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2 (2) 对新图像的像素g（i, j)，计算其在原图像中对应的子块f (i, j)：
（3）根据下式求出缩小的图像：
例题：k1=0.7, k2=0.6 → Δi=1.4, Δj=1.7
j
'

j2
板书计算
photoshop演示
画布没有扩大 画布扩大
平移后的图像内容没有变化。
但“画布”一定要扩大，否则就会丢失信息。
4.1.2 图像的镜像（翻转）
镜像分为水平镜像和垂直镜像
一、水平镜像（水平翻转）
以图像垂直中轴线为中心，交换图像的左右
两部部分。假设图像的大小为M×N，水平镜像
计算公式为： i ' i
第i2行 g(i2, j)
g (i,
j)

g (i1 ,
j)

i i1 i2 i1
g (i2 ,
j)

g (i1 ,
j)
板书计算g(3,1)
g(3,1) f 21 3 2 f 31 f 21
42
( f 31 f 21) / 2
对剩余像素的值，可以利用该像素的左方与 右方的已填充像素的值，通过线性插值方法 计算得到。
6×6
3×3
算 法 描 述 ： 设 原 图 像 大 小 为 M×N, 缩 小 为 k1M×k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下： 1）设旧图像是f (i, j)，i=1, 2,…,M, j=1,2, …, N. 新图像是g (i, j), i=1,2,…,k1M, j=1,2,…,k2N. 2）计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2 3）g (i, j)=f (Δi×i, Δj×j)
i i
j


j
1 1
4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换
图像的平移： 图像的旋转：
i ' 1 0 i i

j
'

j
其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i’, j’)为该像素在新图像中的坐标。
123
123
1
1
2
2
3
3
photoshop演示
4.1.3 图像的旋转
图像的旋转：以图像中的某一点为原点，按 照顺时针或逆时针旋转一定的角度。图像逆 时针旋转的计算公式如下：
i ' i cos j sin
g(1, 2) f 11 2 1 f 12 f 11
4 1
g(2,7)的推测 Photoshop演示算法效果
2 f 11 1 f 12
3
3
4.2.3 图像错切
图像的错切变换可看成是平面景物在投影平面上的 非垂直投影效果。
错切变换可分为两种。一种是水平错切，水平方向 的线段发生倾斜。另一种是垂直错切，垂直方向的 线段发生倾斜。
图像缩小有按比例缩小和不按比例缩小两种情况。 图像缩小之后，像素的个数减少，承载的信息量小
了，画布可相应缩小。 图像缩小方法有两种：（1）基于等间隔采样的缩
小方法；（2）基于局部均值的缩小方法。
(a) 按比例缩小
(b) 不按比例缩小
一、基于等间隔采样的图像缩小方法
原理：该方法通过对原图像的均匀采样，等间隔地 选取一部分像素，从而获得小尺寸图像的数据，并 且尽量保持原有图像特征不丢失。
错切的计算公式如下：
i '

j
i '
j
di
j
(水平错切)
i ' i

j
'

j d ji
(垂直错切)
图像错切的例题
i ' i

j
'

j d ji
(垂直错切)
i '

j
'
j
di
j
(水平错切)
计算f(1,1)的新坐标
di 1
dj 1
可以看到，错切之后的像素坐标只有一种发生变化。 图像旋转，则是行坐标与列坐标同时发生变化。
4.1 图像的位置变换
图像的位置变换是指图像的尺寸和 形状不发生变化，只是将图像进行 平移，或者作镜像变换，或者进行 旋转。
图像的位置变换的一个应用实例： 目标配准。
4.1.1 图像的平移
目的：改变图像在画布上的位置。
方法：将图像的所有像素都按要求进行垂直
或者水平移动。
设图像的任一像素坐标为( i, j ), 图像在画布
(3) 通过双线性插值方法计算剩余像素的值。
对所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以 根据该像素的上方与下方的已填充的像素值，采用 双线性插值方法计算得到。
第j 列
第i1行 g(i1, j)
g (i1 ,
j)

i i1 i2 i1
g (i2 ,
j)

g (i1 ,
j)
第i行 g(i, j)
这里，令系数w取值为1，即像素（i，j） 的齐次坐标为（i，j，1）。
4.3.2 仿射变换
可以定义仿射变换 如下：
i ' ai bj i

j
'

ci

dj

j
有了齐次坐标 ， 就可以用矩阵形 式表示为：
i ' a b

j
'

c
d
1 0 0
i :[1,3]; j :[1,3]
i ' :[1, 2]; j ' :[1, 4]
i i 2

j

j
i '' :[1, 4]; j '' :[1, 4]
图像旋转之后，出现了两个问题：
1） 因为相邻像素之间只能有8个方向，而 旋转方向却是任意的，使得像素的排列 不是完全按照原有的相邻关系。
第四章 图像的几何变换
数字图像的几何变换就是对图像进行如 下处理：改变图像的几何位置、几何形状、 几何尺寸等几何特征。
几何变换的特点是：改变图像像素的空 间位置，而不改变像素灰度值。
本章主要内容： 4.1 位置变换：图像的平移、镜像、旋转 4.2 形状变换：图像的缩放、错切 4.3 仿射变换：图像几何变换一般表示方法
Photoshop的实验综合运用几何变换技术
4.3 图像的仿射变换
图像仿射变换提出的意义是采用通用的数学 变换公式，来表示前面给出的几何变换。
为了能够采用统一变换公式表示平移变换， 引入齐次坐标概念。
i' i i
平移公式：

j'

j j
4.3.1 齐次坐标
原坐标为 (x,y)，定义齐次坐标为： （wx, wy, w）

j
'

i
sin

j
cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范围。
图像旋转时，为了避免信息的丢失，应当扩 大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。
图像的旋转例题
30
板书：计算像素（1，1） 的旋转新坐标
i ' 0.866i 0.5 j
2）会出现许多的空洞点。 我们来看一个旋转图像的画面效果。 空洞点
新图像中的空洞可以采用插值方法填充
插值方法有两种方式： 一、近邻插值法 二、均值插值法
一、近邻插值法
对于判断为空洞点的像素，用其同一 行（或列）中的相邻像素值来填充。
二、均值插值法
对于空洞的像素，用其相邻四个像素的 平均颜色来填充。
板书演算：f（1，1），f（3，4）
4.2.2 图像放大
图像放大有两种：按比例放大或不按比例放大。 图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作。但
是，从信息处理的角度来看，图像缩小是对信息 的一种简化，而图像放大则需要为增加的像素填 入适当的灰度值，是对未知信息的估计。 两种图像放大方法： （1）基于像素放大原理的图像放大方法 （2）基于双线性插值的图像放大方法
第j1 列 第i 行 g(i, j1)
第j 列 g(i, j)
第j2 列 g(i, j2)
g (i,
j) g(i,
j1)
j j1 g(i,
j2 j1
j2 ) g(i,
j1)
g(i,
j1)
j j1 g(i,
j2 j1
j2 ) g(i,
j1)
板书计算g(1,2)

j'
N

j 1
其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i’, j’)为该像素在新图像中的坐标。
123 1
123 1
2
2
3
3
4.1.2 图像的镜像
二、垂直镜像（垂直翻转）
以图像水平中轴线为中心，交换图像