对于判断为空洞点的像素，用其同一 行（或列）中的相邻像素值来填充。
二、均值插值法
对于空洞的像素，用其相邻四个像素的 平均颜色来填充。

（0，128，0） （255，0，0） （102，204，254） （0，102，254）
计算平均颜色
（89，109，127）
经过插值处理之后，图像效果就变得自然。
i i1 g (i1 , j ) g (i2 , j ) g (i1 , j ) i2 i1
第 i行
第i2行
i i1 g (i, j ) g (i1 , j ) g (i2 , j ) g (i1, j ) i2 i1
板书计算g(3,1)
3 2 g (3,1) f 21 f 31 f 21 42 ( f 31 f 21) / 2

对剩余像素的值，可以利用该像素的左方与 右方的已填充像素的值，通过线性插值方法 计算得到。
第 j1 列 第j 列
g(i, j) 第 j2 列 g(i, j2)
第i 行
g(i, j1)
j j1 g (i, j ) g (i, j1 ) g (i, j2 ) g (i, j1 ) j2 j1
4.2.2.1 基于像素放大原理的图像放大方法

基本思想是：如果需要将原图像放大k倍，则 将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应 的k×k大小的子块中。
放大5倍
当图像放大 k1×k2 倍，就好像每个像素放 大了 k1×k2倍。
算法描述： 设 原 图 像 大 小 为 M×N, 放 大 为 k1M×k2N ， （k1>1，k2>1）。算法步骤如下： 1）设原图像是F(i, j): i=1,2,…,M; j=1,2,…,N. 新图像是G(i, j): i=1,2,…,k1M; j=1,2,…,k2N. 2）计算采样间隔： Δi=1/k1 Δj=1/k2
图像旋转时，为了避免信息的丢失，应当扩 大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。
图像的旋转例题
30
i ' 0.866i 0.5 j j ' 0.5i 0.866 j
i 'max 0.866*3 0.5 2.098
i 'min 0.866 0.5*3 0.634

4.3.2 仿射变换
由于基于等间隔采样的方法无法反映未被采样的像素信息。为 此可采用基于局部均值的图像缩小方法，其实现步骤如下： (1) 计算新图像的大小，计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2 (2) 对新图像的像素g（i, j)，计算其在原图像中对应的子块f (i, j)：
（3）根据下式求出缩小的图像：
例题：k1=0.7, k2=0.6 → Δi=1.4, Δj=1.7

对右下角的子块，选取子块中右下角的像素； 对末列、非末行子块，选取子块中的右上角像素； 对末行、非末列子块，选取子块中的左下角像素； 对剩余的子块，选取子块中的左上角像素。
(3) 通过双线性插值方法计算剩余像素的值。
对所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以 根据该像素的上方与下方的已填充的像素值，采用 双线性插值方法计算得到。 第j 列 第i1行 g(i1, j) g(i, j) g(i2, j)
根据：g(i,j)=f(Δi×i, Δj×j) 对于：i=1，j＝1 → g(1,1)=f (1×3/2, 1×4/3)＝f 21 对于：i=2，j＝1 → g(2,1)=f (2×3/2, 1×4/3)＝f 31 ……………………………
注意：不按比例 缩小会导致几何 畸变。
二、基于局部均值的的图像缩小方法
基于双线性插值的图像放大方法能够有效消除图像高倍 放大时出现的“马赛克现象”，使得图像的放大效果更加 自然。请看potoshop软件的演示效果比较。（先缩10倍） 算法步骤如下： (1)按照基于像素放大原理的图像放大方法，确定每一个 原图像的像素在新图像中对应的子块。
(2) 对新图像中每一个子块，仅对其一个像素进行填 充。在每个子块中选取一个填充像素的方法如下：
i '' :[1, 4];
j '' :[1, 4]
图像旋转之后，出现了两个问题： 1） 因为相邻像素之间只能有8个方向，而 旋转方向却是任意的，使得像素的排列 不是完全按照原有的相邻关系。 2）会出现许多的空洞点。 我们来看一个旋转图像的画面效果。 空洞点
新图像中的空洞可以采用插值方法填充
插值方法有两种方式： 一、近邻插值法 二、均值插值法
j ' j j
注意：i与j是原图像的像素坐标，i’与j’是平移后 的图像像素坐标。
4.1.1 图像的平移
将图像进行平移， 取Δi＝1与Δj＝2
i ' i 1 j' j 2
板书计算
画布没有扩大
photoshop演示
画布扩大
平移后的图像内容没有变化。 但“画布”一定要扩大，否则就会丢失信息。
4.1 图像的位置变换


图像的位置变换是指图像的尺寸和 形状不发生变化，只是将图像进行 平移，或者作镜像变换，或者进行 旋转。 图像的位置变换的一个应用实例： 目标配准。
4.1.1 图像的平移
目的：改变图像在画布上的位置。
方法：将图像的所有像素都按要求进行垂直
或者水平移动。 设图像的任一像素坐标为( i, j ), 图像在画布 上沿行方向与列方向分别移动 Δi 与 Δj 。假设 平移后的像素坐标为（i’, j’)。则平移计算公 式为： i ' i i
3）G(i, j)=f(Δi×i, Δj×j)
以上方法与等间隔采样的图像缩小方法大致相同
k1=1.2；k2=2.5 → Δi=0.83; Δj=0.4
G为4×8的新图像 G(2,4)的板书计算 G(i,j)=f(Δi×i;, Δj×j;)
例题
教材g16有误
4.2.2.2 基于双线性插值的图像放大方法
4.2.3 图像错切

图像的错切变换可看成是平面景物在投影平面上的 非垂直投影效果。 错切变换可分为两种。一种是水平错切，水平方向 的线段发生倾斜。另一种是垂直错切，垂直方向的 线段发生倾斜。 错切的计算公式如下：


i ' i di j j' j (水平错切)
i ' i j ' j d ji (垂直错切)
1）设旧图像是f (i, j)，i=1, 2,…,M, j=1,2, …, N. 新图像是g (i, j), i=1,2,…,k1M, j=1,2,…,k2N. 2）计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2 3）g (i, j)=f (Δi×i, Δj×j)
例题: 缩小6×6的图像，设k1=2/3, k2=3/4;
j 'min 0.866 0.5 1.366 j 'max 0.866*3 0.5*3 4.098
板书：计算像素（1，1） 的旋转新坐标
i :[1,3];
j :[1,3]
i ' :[1, 2]; j ' :[1, 4]
i i 2 j j
结论：按照图像旋转计算 公式获得的结果与想象中 的差异很大。
第四章 图像的几何变换
数字图像的几何变换就是对图像进行如 下处理：改变图像的几何位置、几何形状、 几何尺寸等几何特征。

几何变换的特点是：改变图像像素的空 间位置，而不改变像素灰度值。

本章主要内容： 4.1 位置变换：图像的平移、镜像、旋转 4.2 形状变换：图像的缩放、错切 4.3 仿射变换：图像几何变换一般表示方法
Photoshop演 示镜像与旋转
4.2
图像的形状变换
所谓图像的形状变换是指图像 的形状发生了变化，主要包括放大、
缩小、错切等。
4.2.1 图像的缩小


图像缩小有按比例缩小和不按比例缩小两种情况。 图像缩小之后，像素的个数减少，承载的信息量小 了，画布可相应缩小。 图像缩小方法有两种：（ 1 ）基于等间隔采样的缩 小方法；（2）基于局部均值的缩小方法。
板书演算：f（1，1），f（3，4）
4.2.2 图像放大

图像放大有两种：按比例放大或不按比例放大。 图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作。但 是，从信息处理的角度来看，图像缩小是对信息 的一种简化，而图像放大则需要为增加的像素填 入适当的灰度值，是对未知信息的估计。

两种图像放大方法：
（1）基于像素放大原理的图像放大方法 （2）基于双线性插值的图像放大方法
j j1 g (i, j1 ) g (i, j2 ) g (i, j1 ) j2 j1
板书计算g(1,2)
2 1 g (1, 2) f 11 f 12 f 11 4 1 2 1 g(2,7)的推测 f 11 f 12 Photoshop演示算法效果 3 3
2
3
4.1.2
图像的镜像
二、垂直镜像（垂直翻转）
以图像水平中轴线为中心，交换图像 的上下两部分。设图像的大小为M×N，垂 直镜像的计算公式为： i ' M i 1 j' j
其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i’, j’)为该像素在新图像中的坐标。 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 photoshop演示
图像错切的例题
i ' i j ' j d ji (垂直错切)
i ' i di j j' j (水平错切)
计算f(1,1)的新坐标
di 1
dj 1
可以看到，错切之后的像素坐标只有一种发生变化。 图像旋转，则是行坐标与列坐标同时发生变化。