1, 2 ,, n 是 F n的一个基。这个基叫做的标准
基。
例4
在空间 V2 里，任两个不共线的向量 1,2都构成
了一个基；在V3 里，任意三个不共面的向量1, 2 , 3
都构成一个基。
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3、线性空间的维数 定义２ 一个向量空间Ｖ的基所含向量的个数叫做Ｖ的维数．
子空间, 那么它总可以由一个线性无关的生成元生成.
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证 显然 L(1,2 , ,n ) L(i1 ,i2 , ,in ).
对 于 L(1,2 , ,n ) 的 任 意 向 量 为 , 有 a11 a22 ann .
由于每个i 都可由i1 ,i2 , ,ir 线性表示, 从 而 L(i1 ,i2 , ,ir ).
即（2）也是V的一个基.
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定理5 .3 .4
n维向量空间V中任意多于n个向量一定线性相 关．
证 当 n 0 时, 结论显然成立.
设 n 0,1,2 , ,n是V 的 一 个 基 , 且 s n， 而
1，
，
2
，
s
是
任
意
s
个向量,
则每个 i 可由
1,2 , ,n线性表示.
零空间的维数定义为０．空间Ｖ的维数记作dimＶ． 这样，空间Ｖ的维数是２；Ｖ的维数３；Ｆn的维 数是n；Ｆ上一切mn矩阵所成的向量空间是维数是 mn．
如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它 自然也不能由有限个线性无关的向量生成．在这一 例5
生成的子空间.
设
i1
,

i2
,,

是向量组
ir
1,

2
,,

n
的一个极大
线性无关组. 从而有子空间 L1,2 ,,n 的每
一个向量都可以由 i1 ,i2 ,,ir线性表示.另一方
面，i1 ,i2 ,,ir 的任意一个线性组合自然是
L1,2 ,,n 中的向量.
（1）1,2,,n 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 1,2,,n 线性
表示.
根据这个定义，向量空间V的一个基就是V的一组生 成元线性无关组.
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例3
由例1可得，F n 中向量组1, 2 ,, n 是 F n的一组
生成元。显然这组向量是线性无关的，因此
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例1 看F n 如下的n个向量:
i 0,,0,1,0,,0,i 1,2,, n,
这里除 i 第 i 位置是1外,其余位置的元素都是零. 令 a1, a2 ,, an
是 F n 中任意一个向量. 我们有
a11 a2 2 an n.
如果 还可表示成 b11 b22 bnn .
则(a1 b1 )1 (a2 b2 )2 (an bn )n 0. 由 于 1,2, ,n 线 性 无 关 , 所 以
ai1 bi2 0, 即ai bi (i 1, 2, , n).
因此, F n L 1,2,, n
,
而
1,

2
,
是
n
F
n
的一
组生成元.
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例2
F [X]在里,由多项式 1, x,, xn所生成的子空间是
L 1, x,, xn a0 a1x an xn | ai F .
就是F上一切次数不超过n的多项式连同零多项式所
5.3 基和维数
授课题目 基和维数 授课时数 2学时 教学目标 深刻理解并掌握基与维数的定义及性 质 教学重点 基和维数的定义及性质 教学难点 性质的证明及应用
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一、基和维数的定义 1 、线性空间的生成元的定义
设V是数域F上的一个向量空间. 考虑 1,2 ,,n
的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空， 因为零向量属于这个集合.其次,设
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定理5 .3 .3
n维线性空间V的任意n个线性无关的向量组都 是V的一个基.
证 设 1,2, ,n … （ 1 ） 是 V 的 一 个 基 ， 而

1，
，
2
n …（2）是
V
中任意
n
个线性无关的向量，
于是（2）就由线性（1）表示，由替换定理知，（1）
（2）. 从而V中每个向量都可由（2）线性表示，
因此 L(1,2 , 所以 L(1,2 ,
,n ) L(i1 ,i2 , ,n ) L(i1 ,i2 ,
,in ). ,in ).
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2 、线性空间的基 定义1 设V是数域F上一个向量空间.V中满足下列两个条件
的向量组1,2 ,,n 叫做V的一个基:
如果

1，
，
2
， s
Ｆ［x］作为Ｆ上向量空间，不是有限生成的，因
而是无限维的. 二、基和维数的相关性质
定理5 .3 .2
设 {1,2,,n}是向量空间Ｖ的一个基．那么Ｖ的
每一个向量可以唯一地被表成基向量 1,2, ,n
的线性组合．
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证 设任意 V , 由定义知 a11 a22 ann .
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定理5.3.1
设1,2 ,n 是向量空间V 的一组不全为零的向
量,而 i1 ,i2 ,in 是它的一个极大无关组.那么 L1,2,,n L i1 ,i2 ,,ir
根据这个定理,如果子空间L1,2, ,n 不等于零
a11 a22 ann , b11 b22 bnn
那么对于任意 a,b F
这 用 做仍性a子符这是组空号个合b1间 子作,L叫 空(成2a,做 间Va1,1的由 的,2b一,一b1n个的组1,,1子一生n2空)个成,a表a间元线2示,.性. b,向nb组2所量合生2,因成1,此的2,子,的aa空一n,间切bn,b并线叫n 且n