牛吃草问题（一）
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：
①草的每天生长量不变；
②每头牛每天的食草量不变；
③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④新生的草量=每天生长量⨯天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；
⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
一、例题选讲：
【例1】青青一牧场，牧草喂牛羊；
放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；
若养二十一，可作几周粮？
（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）
【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162
⨯=份；23头牛吃9周共吃了
-=份草，这45份草是牧场的草⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245
239207
÷=，那么原有草量为：963
-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315
-⨯=．
16261572
供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612
÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．
【例2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？
【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15
⨯-⨯÷-=，原有草量为
÷+=（头）牛吃18周
-⨯=，可供72181519
(2715)672
【例 3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【例 4】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651
⨯-⨯=，原有草量为：
-=天自然减少的草量为2051664
()
+⨯=．
2045120
若有11头牛来吃草，每天草减少11415
÷=(天)．
+=；所以可供11头牛吃120158
【例 5】一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为()()
⨯-⨯÷-=，
16202012201210
原有草量为：()
-⨯=．
161020120
10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158
÷=天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．
【例 6】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生
长)？
【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为()()
⨯-⨯÷-=，原有
1730192430249草量为：()
-⨯=．
17930240
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加428
⨯=才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为()
+÷+=(头)．
24088940
【例 7】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的
吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
【解析】设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：
15天马和牛吃草量=原有草量15
+天新生长草量……⑴
20天马和羊吃草量=原有草量20
+天新生长草量……⑵
30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量30
+天新生长草量……⑶
由(1)2(3)
÷；
⨯-可得：30天牛吃草量=原有草量，所以：牛每天吃草量=原有草量30由⑶可知，30天羊吃草量30
=天新生长草量，所以：羊每天吃草量=每天新生长草量；设马每天吃的草为3份
将上述结果带入⑵得：原有草量60
=，所以牛每天吃草量2
=．
这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：()
÷+=(天)．
602312
二、练习及作业
1-①牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
1-②仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。
用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。
仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？
2-①有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？
2-②(2007年湖北省“创新杯”)
牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头牛96天可以把草吃完．
2-③一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?
2-④林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）
2-⑤一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可
供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？
4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可
供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
5-①（2008年希望杯六年级二试试题）
有一片草场，草每天的生长速度相同。
若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。
那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
5-②一片牧草，每天生长的速度相同。
现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。
如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？
5-③一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100
只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃
多少天?
6、一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？
7、现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于
是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?。