Ａ
Ｃ
Ｏ•
┍
Ｐ
Ｄ
Ｂ
3. 已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B， PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半 径．
B A
.
P
C
0
D
ＡＢ，ＣＤ，点Ｐ分弦ＡＢ和ＣＤ为四条线
段，你能证明ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ吗？
连结ＡＣ，ＢＤ，
由圆周角定理的推论，得
Ａ
Ｄ
∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｃ＝∠Ｂ
•Ｐ
∴△ＰＡＣ∽ △ＰＤＢ Ｃ ∴ＰＡ:ＰＤ＝ＰＣ:ＰＢ ∴ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ
Ｏ•
Ｂ
已知：如下图，点P是⊙o外一点，PT是切线，T是切点，
PA是割线 , 点A和B是它与⊙o的交点。 求证：PT2 =PA ·PB
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C
B
A×
B
× C A
B C
×B
A C
C
×
√
A
A
B
从数学的角度看，弦切角能分成三大类
C C
C
.O
.O
P
P
.O P
D AB
A BD A B
BAC为直角， BAC为锐角， BAC为钝角，
圆心在 AC上。 圆心在角外。 圆心在角内。
现上猜在图想分中：别B弦作A切 C出所他 角夹们的所B弧A对分C与别的圆 是圆：周周半角角圆、AA劣 PPC弧C,的 如、上关 优图弧系。
︵ 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切︵线，AmC 是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的 圆周角。求证：∠BAC＝∠P
( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部 作⊙O的直径AQ，连结CQ
Q C
∵∠BAQ＝∠ACQ＝90° ∴∠BAC＝90°－∠CAQ
P
O m
A
B
∠Q＝90°－∠CAQ 弦切角等于所夹
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例
中项。
即
2
PT
=PA·PB
T 1
证明:连结TA，TB P ∠ 1= ∠ B
∠ P= ∠ P
A
△PTA∽ △PBT
PA:PT=PT:PB
PT2 =PA·PB B
问题：如下图，点P是⊙o外一点，过P点向圆作两条 直线 与圆相交得四条线段 PA与PB及PC与PD 它们有等积关系 PA•PB=PC•PD 吗?
切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，从这一 推 论 点到每条割线与圆的交点的两条线段
长的积相等. 即 PA·PB = PC·PD =PT2
T
练习
１．如图：AP=3cm,PB=5cm,CP=2.5cm,求CD.
Ｃ
Ｂ
•Ｐ Ａ Ｏ•
Ｄ 2.如图：O是圆心，
CP⊥AB,AP=4cm,PD=2cm,求OP
∴ ∠BAC＝∠Q
弧对的圆周角。
︵ 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切︵线，AmC 是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的 圆周角。求证：∠BAC＝∠P
( 2 )圆心O在∠BAC的边AC上
C
Байду номын сангаас
∵ AB是⊙O的切线，
m
∴ ∠BAC＝90°
O
︵
P
又∵ AmC 是半圆，
A
B
∴ ∠P＝90°
弦切角等于所夹
∴ ∠BAC＝∠P
弧对的圆周角。
︵ 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切︵线，AmC 是弦切角∠BAC所夹的弧，∠P是AmC所对的 圆周角。求证：∠BAC＝∠P
( 3 ) 圆心O在∠BAC的内部 证明:作⊙O的直径AQ，连结CQ C
Q
m
∵∠BAC＝180°－∠DAC
O
∠P＝180°－∠Q
DP A
B
我们曾经学习过的有关于圆的角PAB
A
点A运动到圆上
O(A)
使
B
PA
P
与
A与圆心O重合 圆
PAB为圆心角
相 A切
O
PA
B
绕
A 旋
P
PAB为圆周角
转 此时PAB是什么角？
P
O
B
∠PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？
顶点在圆上一边与圆相 交，另一边与圆相切的 角叫做弦切角
B m
A
P
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边 与圆相切的角叫做弦切角。
∠DAC＝∠Q
弦切角等于所夹
∴ ∠BAC＝∠P
弧对的圆周角。
课堂练习： 1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30º O 70º
21 AB
O
3
25º
A
B
O 80º
4
A
B
∠1= 30º;∠2= 70º;∠3= 65º ;∠4= 40º。
弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
新课： 在⊙Ｏ内取一点Ｐ，过点Ｐ作⊙Ｏ的两条弦