对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）平行四边形一边长为10, —条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为（）A. 4<a<16 B . 14<a<26 C . 12<a<20 D . 8<a<32平行四边形的判定：1:定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3:两组对边分别相等的四边形是平行四边形4:对角线相互平分的四边形是平行四边形14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题1:如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC.过点A作AEL BC于点E;过点C作CF// AE交AD于点F;求证：四边形AECF为平行四边形练习：1、已知：如图，△ ABC是等边三角形，D E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE连接ED并延长到F,使得EF=EC,连接AF、CF、BE.（1）求证：四边形BCFD是平行四边形;证明：（1 △ ABC为等边三角形，且AE=AD,•••由题可知 / AED=Z ADE=Z EAD=60°••• EF/ BC,又••• EC=EF,•△ ECF为等边三角形,即/ EFC=Z EDB=60°,•CF// BD•••四边形BCFD为平行四边形.2、如图：平行四边形ABCD中, M N分别是AB CD的中点，AN与DM相交于点P, BN与CM相交于点Q试说明PQ与MN互相平分。
3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG BE、FD分别是/ A、/ C、/ B、/ D的角平分线，且BE// FD, AH// CG证明四边形ABCD为平行四边形.15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题1:如图，在ABCD中，延长CD到E,使DB CC,连接BE交AD于点F,交AC于点G求证：AF= DF【答案】解：（1）证明：如图1,连接BD AE,•••四边形ABCD是平行四边形，••• AB// CD AB= CD•/ DE= CD • AB// DE AB= DE=•四边形ABDE是平行四边形。
• AF= DF。
练习：1、如图，已知平行四边形ABCD过A作AMLBC于M,交BD于E，过C作CNLAD于N,交BD于F，连结AF、CE（1）求证：四边形AECF为平行四边形；【答案】（1）证明•••四边形ABCD是平行四边形（已知），•BC// AD （平行四边形的对边相互平行）。
又•••AMI BC（已知），• AML AD•••CN丄AD（已知），• AM/ CN • AE// CF。
又由平行得/ ADE/ CBD又AD=BC（平行四边形的对边相等）。
在厶ADE和厶CBF 中， / DAE/ BCF=90，AD=CB / ADE/ FBC•△ ADE^ACBF（ ASA，• AE=CF（全等三角形的对应边相等）。
•四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）2、如图：在「ABCDK E,G,F,H分别是四条边上的点，且AE CF ,BG DH ,试说EF与GH相互平分.例题2:如图，△ ABC^P^ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F,且BF=DC连接EF、EB.（1）求证：△ ABE^A ACD （2）求证：四边形EFCD是平行四边形练习：1、如图1,在厶OAB中，/ OAB=90 , / AOB=30 ,0B=8.以OB为一边，在厶OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.⑴求点B的坐标.⑵ 求证：四边形ABCE是平行四边形.⑶ 如图2,将图1中的四边形ABCOff叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.【解析】⑴I/ AOB=30 ,OB=8,••• AB=4,OA=4，二B« ,4）.⑵OBC是等边三角形，•••OC=OB=8.•••D点为OB的中点，•••OD=4.又••• AD是Rt△ OAB斜边的中线，••• AD=OB=OD,•••/ ODA=180 -2 X 30° =120° ,•••/ EDO=60 .又/ EOD=60，二△ OED为等边三角形,••• OE=4「E(0,4),••• CE=4,CE=AB又tCE// AB,•••四边形ABCE是平行四边形.(3) V GA=GC；.G A=G C.即O G+O A F QC-OGI O G+S. . )2=(8-OG)2, •••OG=1.16.平行四边形的判定(三)：两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题1:如图，点A是直线l外一点，在I上取两点B C,分别以A C为圆心，BC AB长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AB AD CD,则四边形ABCD一定是【】A平行四边形B.矩形 C.菱形 D.梯形练习：1、如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形.例题2:如图所示，试证明：四边形PONM是平行四边形.练习：1、在Y ABCC中,分别以AD,BC为边向内作等边厶ADE和等边△ BCF连接BE,DF. 求证：四边形BEDF是平行四边形.A.平行四边形 B •两组对角分别相等的四边形C•对角线互相垂直的四边形D •对角线相等的四边形3、等边厶ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE以AD为边作等边厶ADF，如图•求证：四边形CDFE是平行四边形.4、如图所示，以厶ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形2四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是()△ ABD △ BCE △ ACF,猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.证明：四边形ADEF是平行四边形.连接ED EF，•••△ ABD △ BCE、△ ACF分别是等边三角形，••• AB=BD BC=BE / DBA=Z EBC=60°.•••/ DBE=Z ABC.•••△ ABC^ △ DBE同理可证△ ABC^ △ FEC,••• AB=EF, AC=DE••• AB=AD AC=AF,••• AD=EF，DE=AF.•••四边形ADEF是平行四边形17.平行四边形的判定(四)：对角线相互平分的四边形是平行四边形例题1:已知A (2,3 ) B (-2,5 )，A、B点关于原点的对称点分别为C、D,依次连接A、B、C、D点，则四边形ABCD是什么四边形？例题2、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD,过A C两点分别作AE BD于E 点，CF BD 于F点，求证：四边形AECF是平行四边形练习:1如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD是平行四边形，BE AC, DF AC, E、F是垂足，G H分别是BC AD的中点，连接EG GF、FH, HE为公园中小路，问小明从B地经E地，H地到F地，与小强从D地经F地，G地到E地，谁的路程远？2、如图所示，在Y ABCD中, E、F是对角线AC上两点，且AF=CE,求证：四边形BEDF是平行四边形.3、如图，在Y ABCD中，点M N是对角线AC上的点，且AM=CN, DE=BF,求证：四边形MFNE是平行四边形18.坐标平行四边形知识点总结：若A、B C为已知点，则求一点D与他们构成平行四边形，则有三个点D1、D2、D3，则有D1=A+B-C D2=A+C-B D3=B+C-A(按照中点坐标公式和对角线相互平分性质)例题1、已知点A (- 1 , 0) , B (2,- 1), D (0, 1).请在直角坐标系中找一点C与A B C D四点构成平行四边形，则点C的坐标为 ______________________________ 」练习：1、若以A (, 0), B(2, 0), C (0 , 1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【】A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限练习:1如图BC x轴于C点，BA y轴于A点，B(3,4),四边形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD AB上，且AF=2. (1)求G点坐标；(2)求直线EF解析式；(3)点N在x轴上，直线EF上是否存在点M使以M N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由19.动点平行四边形例题1:在四边形ABCD中, AD// BC且AD> BC, BC=6cm P、Q分别从A C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？练习：1、如图，在△ ABC中，AB=AC,射线AM// BC，点P从点A出发沿射线AM 运动，同时点Q从点B出发沿射线BC运动，设运动时间为t (s).(1)连接PQ AQ PC，当PQ经过AC的中点D时，求证：四边形AQCP 是平行四边形；(2)若BC=6cm 点P速度为1cm/s，点Q的速度为4cm/s，填空：①当t为________ s时，以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形；(1)证明：：D为AC中点，••• AD=CD••• AM// BC,•••/ PAC=Z ACB心ADP和△ CDQ中，/ PAD=Z DCQAD= CD/ ADP=Z CDQ•••四边形AQCP是平行四边形;(2)①当Q在线段BC上，AP=QC时，以A、Q C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=6-4t ，解得：t=，当Q在C的右边时，AP=QC时，以A、Q C、P为顶点的四边形是平行四边形，由题意得：t=4t-6 ，解得:t=2，故答案为：或2;2、如图，/ ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连接AD，作BE丄AD,垂足为E,连接CE,过点E作EF丄CE,交BD于F.(1)求证：BF=FD;(2)点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能, 请说明理由；如能，求出此时/ A的度数.解：(1)在Rt △ AEB 中，T AC=BC1•- CE= AB2•CB=CE•/ CEB=Z CBEvZ CEF=Z CBF=90°,•/ BEF=Z EBF,•EF=BF.vZ BEF+Z FED=90°,Z EBD+Z EDB=90°,•Z FED=Z EDF,v EF=FD.•BF=FD.(2)能.理由如下：若四边形ACFE为平行四边形，贝U AC// EF, AC=EF,••• BC=BF••• BA=BD / A=45°.•••当/ A=45。