∴BC⊥平面A1AD. ∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. 证法二：如右图所示， ∵三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱， ∴ A1C ＝ A1B.∵ 点 D 是 等 腰 △ A1CB 的 底 边 BC 的 中 点 ，
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线．
平行
4．平行平面的定义：如果两个平面没有，那么公这共两点个平面互相平行．
5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面互相平行．
相交
6．推论：如果一个平面内有两条直相线交分别平行于另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面互相平行． 7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那相么交它们的交线
是 BC 的 中 点 ， ∴ DF∥A1B. 又 DF⊂ 平 面 ADC1 ， A1B⊄ 平 面 ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1， C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B， ∴A1B∥平面ADC1.
面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行 问题． 【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1； (2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
解 答 ： (1) 证 法 一 ： ∵ 点 D 是 正 △ ABC 中 BC 边 上 的 中 点 ， ∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，
3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为( ) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成角为45° 答案：C
4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条 件：
①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等； ③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β； ④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平
(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB， ∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF， ∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，
Rt△ANH≌Rt△HNM ， ∴ MN ＝ AN. F·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝， ∴MN＝. (3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.
直线与平面平行平面与平面平行
1．直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点)； (2)直线和平面(有且只有一相个交公共点)； (3)直线和平面(没有公共平点行)． 2．线面平行的判定定理：如果一平条面直外线的和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行．
3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)zx````xk
解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确； ②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相 等，∴不正确； ③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确； ④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α， m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确． 答案：④
【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.