2016年《中学生理化报》课外读书活动 市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知7115P m =-，2815Q m m =-（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）. A 、P ＜Q B 、P ＞Q C 、P ＝Q D 、不能确定解：∵28711515Q P m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21m m =-+21324m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥34＞0， ∴Q ＞P ，即P ＜Q ，故选A.2.已知()7237012371x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，则1357a a a a +++＝（ ）.A 、16B 、32C 、64D 、128解：令x ＝1，得012345670a a a a a a a a +++++++=…………① 令x ＝－1，得01234567128a a a a a a a a -+-+-+-=-………②①－②得：135********a a a a +++=，∴135764a a a a +++=，故选C.3.已知有理数a 、b 、c 满足关系式()21404a abc -++-=，则()2017533a b c +-的末位数字为（ ）.A 、2B 、4C 、6D 、8解：易知a ＝4，b －c ＝－4，从而()53353a b c a b c +-=+-＝()5434⨯+⨯-＝8 而20178的个位数字与18的个位数字相同，故()2017533a b c +-末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（ ）.A 、9B 、12C 、13D 、15 解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5＋4＋3＋2＋1＝15（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为15－3＋1＝12（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（ ）. A 、心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心解：如图，设直线DE 平分△ABC 的周长和面积，D ，E 分别在边AB 和AC 上，作∠A 的平分线交DE 于P ，记P 到AB ，AC 的距离为r ，P 到BC 的距离为1r ，于是依题意有()()1222AD AE BD BC CE r r rAD AE BD CE BC +=++⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 由此容易解得1r r =，即P 到△ABC 三边的距离相等，所以P 是△ABC 的心.故选A.rr1r P E DCBA6.如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO.如果AB ＝4，AO＝，那么AC 的长为（ ）. A、、、12 D 、16解：如图，在CA 上截取CM ＝AB ＝4，连接OM ，设OB 与AC 的交点N. ∵∠ABO ＝90°－∠ANB ，∠MCO ＝90°－∠CNO 又∵∠ANB ＝∠CNO∴∠ABO ＝∠MCO ，又AB ＝MC ，BO ＝CO ，故△ABO ≌△MCO ，∴AO ＝MO ，∠AOB ＝∠MOC ， ∵∠BOM ＋∠MOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BOM ＋∠AOB ＝90°，即∠AOM ＝90°，故△AOM是腰长为的等腰直角三角形，由勾股定理可得其斜边AM ＝12， ∴AC ＝AM ＋MC ＝12＋4＝16，故选D.7.D 是△ABC 的BC 边延长线上一点，且CD ＝BC ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交AB 于点F ，则DE ︰EF 等于（ ）.A 、2︰1B 、2︰3C 、3︰1D 、3︰2 解：如图，过点C 作CG ∥AB 交ED 于点G.由E 是AC 中点易证△AEF ≌△CEG ，从而EF ＝EG. ∵CG ∥AB ，且C 为BD 的中点， ∴G 为FD 的中点，∴GD ＝GF ＝2EF ，从而DE ＝GD ＋EG ＝2EF ＋EF ＝3EF ， ∴DE ︰EF ＝3︰1.故选C.8.如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标不可能是（ ）. A 、（8，4） B 、（7，4） C 、（3，4） D 、（2，4）解：易知OA ＝10，OC ＝4，点P 的纵坐标为4. 因为D 为OA 的中点，故OD ＝5.∵△ODP 是腰长为5的等腰三角形， ∴OD 是等腰△ODP 的一条腰.①当OP ＝OD ＝5时，如图1，由于OC ＝4，因此由勾股定理得CP ＝3， ∴此时点P 的坐标为（3，4）；②当PD ＝OD ＝5时，如图2，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝OC ＝4，从而由勾股定理得PE ＝3，又易知CE ＝OD ＝5，所以CP ＝5－3＝2，此时点P 的坐标为 （2，4），显然，点P 关于点E 的对称点P 1也符合题意，其坐标为（8，4）. 综上只有点（7，4）不可能，故选B.第7题第6题F E C BA OFECB A N MOFE BAGFE DCA图29.定义()[],,a b a b a b *=⨯，其中(),a b 表示a ，b 的最大公约数，[],a b 表示a ，b 的最小公倍数，则()()2468***的值为（ ）.A 、383B 、384C 、385D 、400 解：由“*”的定义可得24248*=⨯=，6822448*=⨯=， ∴()()2468***＝848*＝848⨯＝384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A 、B 、C 三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若①甲不在A 校学习；②乙不在B 校学习；③在B 校学习的学数学；④在A 校学习的不学化学；⑤乙不学物理.则（ ）.A 、甲在B 校学习，丙在A 校学习 B 、甲在B 校学习，丙在C 校学习 C 、甲在C 校学习，丙在B 校学习D 、甲在C 校学习，丙在A 校学习 解：∵在B 校学习的学数学，在A 校学习的不学化学，∴在A 校学习的必然学物理，从而在C 校学习的必然学化学， 又∵乙不学物理，且乙不在B 校学习， ∴乙必然在C 校学习，又甲不在A 校学习， ∴甲在B 校学习，丙在A 校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.已知0a b c ++=，则代数式111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 . 解：答案为－3. ∵0a b c ++=，∴a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，∴111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝()()()a c b b a c c b a bc ca ab +++++＝()()()222a c b b a c c b a abc+++++＝222222a c a b b a b c c b c aabc+++++＝()()()222222a c c a a b b a b c c babc+++++＝()()()ac a c ab a b bc b c abc+++++＝()()()ac b ab c bc a abc-+-+-＝3abcabc-＝－3.12.已知2310x x -+=，则331x x +的值为 . 解：答案为18.显然x ≠0，把方程两边同时除以x 得：13x x -+，从而13x x+=. ∴219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129x x ++=，故2217x x +=，∴32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3（7－1）＝18.13.已知关于x ，y 的方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足42x y -=，则m ＝ .解：答案为－1.解方程组34517843x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩得14113m x +=，代入3451x y m +=-，得()314123164513511313m m y m x m +-=--=--=，∵42x y -=，∴14113m +－231613m -＝2，解得m ＝－1.14.如图，D 为等边△ABC 一点，DB ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED ＝ . 解：答案为30°.由AD ＝BD ，AC ＝BC ，CD ＝CD ，得△ACD ≌△BCD ，所以∠ACD ＝∠BCD.因为∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝60°，所以∠ACD ＝∠BCD ＝30°. ∵BE ＝AB ，而AB ＝BC ，∴BE ＝BC ，又∠DBE ＝∠DBC ，BD ＝BD ，∴△DBE ≌△DBC ，从而∠BED ＝∠BCD ＝30°.15.如图，矩形ABCD 的面积为24，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则四边形BEGF 的面积为 . 解：答案为4.连接BG. S △ABF ＝12AB ·BF ＝12AB ·BC ＝14 AB ·BC ＝14⨯24＝6， 同理S △BCE ＝6.∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴S △AGE ＝S △BGE ，S △CGF ＝S △BGF .设S △AGE ＝S △BGE ＝x ，S △CGF ＝S △BGF ＝y ，则有下面的方程组：2626x y x y +=⎧⎨+=⎩， ∴()()2212x y x y +++=，故4x y +=，即S 四边形BEGF ＝4x y +=.GDFCAECBAE Dy xy xC BAG F ED16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A （4，3），一次函数的图象与y 轴交于点B ，且OA ＝OB ，则这两条直线与x 轴围成的△AOC 的面积为 . 解：答案为154. 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由A （4，3）得AD ＝3，OD ＝4，故在Rt △AOD 中由勾股定理得OA ＝5，从而OB ＝OA ＝5，所以点B 的坐标为（0，－5）.设一次函数的解析式为y kx b =+，将A 、B 两点坐标分别代入，得： 345k bb=+⎧⎨-=⎩，解得2k =，b ＝－5，∴一次函数的解析式为25y x =-.令y ＝0，可得x ＝52，即C 点坐标为（52，0），所以OC ＝52. ∴S △AOC ＝12⨯OC ⨯AD ＝12⨯52⨯3＝154.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是 . 解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x ，则这个六位数可以表示为10x ＋6，而新的六位数则可以表示为600000＋x ，根据题意得： 600000＋x ＝4（10x ＋6） 解得x ＝15384.故所求六位数为153846.18.已知函数1222y x x x =-+++（－1≤x ≤2），则y 的最大值与最小值之差为 . 解：答案为1. ∵－1≤x ≤2，∴x －2＜0，x ＋2＞0.∴()()()()()()()()1122 4 101222211222 4 0222x x x x x y x x x x x x x x ⎧-+-++=-+-≤≤⎪⎪=-+++=⎨⎪-+++=+≤≤⎪⎩，显然，当x ＝2时，y 有最大值为5，当x ＝0时，y 有最小值为4.∴y 的最大值与最小值的差为5－4＝1.三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦·时. （1）设照明时间为x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用＝灯的售价＋电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？②当照明时间在什么围，选用白炽灯费用低；照明时间在什么围，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（49＋0.0045x）元；用一盏白炽灯的费用是：（18＋0.02x）元.（2）①由题意，得：49＋0.0045x＝18＋0.02x解得x＝2000∴当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.②当白炽灯费用低时，有49＋0.0045x＞18＋0.02x∴x＜2000当节能灯费用低时有49＋0.0045x＜18＋0.02x∴x＞2000∴当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：①如果选用两盏节能灯，则费用是：98＋0.0045⨯3000＝111.5（元），②如果选用两盏白炽灯，则费用是：36＋0.02⨯30000＝96（元），③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为：67＋0.0045⨯2800＋0.02⨯200＝83.6（元）.∵ 83.6＜96＜111.5∴选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点M、N分别是边AC、BC的中点，点D在射线BM上，且BD＝2BM，点E在射线NA上，且NE＝2NA.求证：BD⊥DE.证明：连接CD，由题意可知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵AC＝BC，M、N分别是AC、BC的中点，∴CN＝CM，又∠C＝∠C，∴△BCM≌△ACN.∴∠2＝∠3，从而∠1＝∠3.取AD中点F，连接EF.则由AD＝BC可得AF＝NC.∵NE＝2NA，∴AE＝NA，又∠4＝∠5，∴△AFE≌△NCA.∴∠AFE＝∠NCA＝90°，从而EF是AD的垂直平分线. ∴AE＝DE，故∠4＝∠6.在Rt△ACN中，∠3＋∠5＝90°，∴∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＝∠3，∠6＝∠4，∴∠1＋∠6＝90°，即∠BDE＝90°.∴BD⊥DE.NMAED654321NMFEDCBA21.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B 的坐标是（3，1）.若直线12y x b =-+经过点A ，则32b =； 若直线12y x b =-+经过点B ，52b =；若直线12y x b =-+经过点C ，1b =.①点E 在OA 上时，1＜b ≤32，如图1，此时点E 的坐标为（2b ，0）.∴S ＝12OE ⨯CO ＝12⨯2b ⨯1＝b ；②当点E 在AB 上时，32＜b ＜52，如图2，此时点E 的坐标为（3，32b -），点D 的坐标为（22b -，1）.∴S ＝S 矩形OABC －S △OCD －S △OAE －S △BDE ＝()()11315322135222222b b b b ⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝252b b -. 综上，2312535222b b S b b b ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<<⎪⎪⎝⎭⎩.（2）如图3，设O1A1与CB 相交于点M ，C1B1与OA 相交于 点N ，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM 的面积.显然，四边形DNEM 是平行四边形.又由对称知，∠MED ＝∠NED ，而∠MDE ＝∠NED ， ∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴四边形DNEM 是菱形，设其边长为a .过点D 作DH ⊥OA 于H ，由题意可知D （22b -，1），E （2b ，0）. ∴DH ＝1，HE ＝OE －OH ＝2b －（2b －2）＝2. ∴HN ＝HE －NE ＝2－a .在Rt △DHN 中，由勾股定理得：DH 2＋HN 2＝DN 2，∴12＋（2－a ）2＝a 2，1图3解得54a =. ∴S 菱形DNEM ＝NE ⨯DH ＝54⨯1＝54. ∴矩形OABC 与四边形O 1A 1B 1C 1重叠部分面积不变，始终为5422.已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且54a b =，32c d =，19c a -=，求d b -的值. 解：∵54a b =，32c d =，∴a 为四次方数，c 为平方数.设2c m =，4a n =，其中m 、n 都是正整数. 则24c a m n -=-＝19， 即()()22m n m n +-＝19.∵19＞0，2m n +＞0， ∴2m n -＞0. ∵19是质数，∴19＝19⨯1，而又显然有2m n +＞2m n -，∴22191m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得10m =，3n =.∴23d c =＝()3210＝()2310，∴3101000d ==； 45b a=＝()543＝()453，∴53343b ==.∴1000243757d b -=-=.。