期末复习二特殊三角形一、必备知识1．等腰三角形性质：①边：两腰相等；②角：；③特殊线段：三线合一，即等腰三角形顶角平分线与底边上的、底边上的中线互相重合．等边三角形性质：①边：每条边都；②角：每个角都是.直角三角形性质：①边：勾股定理；②角：两锐角；③特殊线段：直角三角形斜边上的中线等于斜边的．2．等腰三角形的判定：在同一个三角形中，对等边．等边三角形的判定：①三条边都相等；②有两个角是；③一个角为60°的三角形．直角三角形的判定：①有两个角；②勾股定理的逆定理．3．角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的．4．两个直角三角形可用证明全等；在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的．二、防范点1．求等腰三角形角度，边长的问题注意分类讨论，考虑多种情况．2．逆命题中注意术语的回避，如“等腰三角形两腰相等”的逆命题为．例题精析知识点一轴对称图形例1 （1）下列图形中不是轴对称图形的是（）（2）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则ADE= 度（3）如图所示，为了确保城市运动会的安全工作，某交警执勤小队从A出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，然后再到B处执行任务，他们应该如何走才能使总路程最短？【反思】利用轴对称性可以解决一些线段和最短的问题．知识点二等腰、等边三角形性质及判定例2 （1）等腰三角形有两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长为．（2）等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为．（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，AD＝AE，则∠EDC度数=.（4）如图，已知P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC 的度数= .（5）如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC 于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是．（6）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．【反思】运用等腰、等边三角形性质解决问题时往往要结合三角形内角和为180°和三角形外角性质，解题过程中还要注意分类讨论考虑多种情况，防止出现漏解．例3 如图所示，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD.试说明△DAE是等边三角形．【反思】要说明一个三角形是等边三角形，当已知这个三角形是等腰三角形时，也可设法说明底边和腰相等或说明一个角为60°.知识点三逆命题和逆定理例4 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．（1）如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数；（2）如果a＝b，那么a2＝b2；（3）等腰三角形两腰上的高相等．【反思】把原命题的条件和结论互换可得到其逆命题，若逆命题是假命题，则利用举反例就可以进行说明；若逆命题是真命题，则要进行推理论证才能说明．知识点四直角三角形性质、判定及HL全等证明例5 （1）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有.（填序号）（2）一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是.（3）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．（4）如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为．（5）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．【反思】对于（3），设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键；对于（4），求△ABC的面积要用正方形的面积减去三个直角三角形的面积是解决本题的关键；对于（5），对应关系不明确注意分类讨论．知识点五特殊三角形的综合运用例６（1）如图1，点P是等腰三角形ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R，请观察AR与AQ，它们有何数量关系？并证明你的猜想；（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图2中完成图形，并直接写出结论．【反思】解题的关键是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求证∠AQR=∠R，从而可知AR=AQ；用类似方法分析、证明（2）．例７在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图1，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图2，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．【反思】解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．例8 如图，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，顶点A、B的坐标分别为A（10，0），B （6，8），直线y＝kx分别交BC、AB于点M、N.（1）求直线AB的函数解析式；（2）若直线y＝kx交线段AB于点N，当AN＝25时，请说明直线y＝kx垂直线段AB.【反思】第（2）小题也可先求点N的坐标，利用勾股定理逆定理证垂直．校内练习１. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若∠C=70°，则∠CAD的度数是.２．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是. 3．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种柔性衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，如图2，∠AOB=60°，则此时AB= cm.4．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为.5．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，则DE= .６．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为.７．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点. 若AC=15，则CP的长为.8．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D、E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是 .9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝，AD＝；（请直接写出答案）（2）当△CBD是直角三角形时，t＝；（请直接写出答案）（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．10．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，M为BC中点．（1）求证：DM＝EM；（2）若∠A＝45°，求∠DME的度数；（3）若∠A∶∠DME＝5∶2，BC＝4，求S△DME.答案期末复习二 特殊三角形【必备知识与防范点】一、1. 两底角相等 高线 相等 60° 互余 一半2. 等角 60° 等腰 互余3. 平分线上 HL 一半二、2. 两边相等的三角形为等腰三角形【例题精析】例1 （1）A （2）50 （3）如图所示，交警执勤小队沿A →C →D →B 的路线走即可使总路程最短．例2 （1）15 （2）75°、75°或30°、120° （3）10° （4）120°（5）①②③（6）3或6或6.5或5.4例3 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°.∴∠ACD ＝120°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝21∠ACD ＝60°. ∴∠B ＝∠ACE.在△ABD 和△ACE 中，∵AB ＝AC ，∠B ＝∠ACE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE.∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE. ∴∠DAE ＝∠BAC ＝60°.∴△DAE 为等边三角形．例4 （1）逆命题为：如果ab 为无理数，那么a 、b 都是无理数． 假命题（2）逆命题为：如果a 2＝b 2，那么a ＝b. 假命题（3）逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 真命题 例5 （1）①②③ （2）5或7 （3）10 （4）535 （5）4例6 （1）AR=AQ ，证明如下：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠B=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°，∵∠BQP=∠AQR ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ. （2）AR=AQ 仍然成立：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=AC ，∠ABC=∠C. 又∵PR ⊥BC ，∴∠RPC=90°，∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°，∵∠ABC=∠PBQ ，∴∠AQR=∠R ，∴AR=AQ ．例7 （1）如图1，设CE=x ，则BE=8-x ；由题意得：AE=BE=8-x ，由勾股定理得：x 2+62=（8-x ）2，解得：x=47，即CE 的长为：47． （2）如图2，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′=21AC=3；设CE=x ，类比（1）中的解法，可列出方程：x 2+32=（8-x ）2，解得：x=1655． 即CE 的长为：1655． 例8 （1）AB ：y ＝－2x ＋20； （2）连结OB ，得OB ＝10＝OA ，又AN ＝25＝0.5AB ，∴直线y ＝kx 垂直线段AB （等腰三角形三线合一）．【校内练习】1. 20°2. 43. １８4. 4或65. 13606. 47. 5 8. 259. （1）2 8 （2）3.6或10秒（3）①CD ＝BD 时，如图1，过点D 作DE ⊥BC 于E ，则CE ＝BE ，∴CD ＝AD ＝21AC ＝21×10＝5，t ＝5÷1＝5；②CD ＝BC 时，CD ＝6，t ＝6÷1＝6；③BD ＝BC 时，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于F ，则CF ＝3.6，CD ＝2CF ＝3.6×2＝7.2，∴t ＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t ＝5秒或6秒或7.2秒时，△CBD 是等腰三角形．10. （1）DM ＝EM ＝0.5BC （直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）；（2）∠DME ＝∠DMC －∠EMC ＝2∠DBC －2∠EBC ＝2∠ABE ＝2×45°＝90°；（3）设∠A ＝x °，则∠DME ＝2（90－x ）°，由∠A ∶∠DME ＝5∶2得x ＝75，∴∠DME ＝30°，∴S △DME ＝21×2×1＝1.。