(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应。
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
d 2Ψ x 2mE 2 Ψ x 0 2 dx
2mE 令 k 2
2
d 2Ψ x 2 k Ψ x 0 2 dx 解为


V(
r)
Ψ x A sin kx B cos kx
波函数在 x = 0 处连续，有
Ψ( x) 0
( x)
Ψ( x) 0
e2 V 4π 0 r
球坐标的定态薛定谔方程
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 2 2 (E ) 0 2 r sin 4π 0 r
1. 能量量子化 能量 电子云
Ψ 0 A sin k 0 B cos k 0 0
0
所以
a
x
B0
因此
Ψ x A sin kx
nπ k a
2
在 x = a 处连续，有
Ψ a A sin ka 0
2mE 其中 k 2 2 粒子 h 2 2 E n n E1 能量 n 2 8ma
2 2
2mE k 2
2 1
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区
Ψ1 ( x) A1eik1x B1eik1x
U0
Ⅰ E Ⅱ Ⅲ
Ⅱ区
Ⅲ区
Ψ 2 ( x) A2eik2 x B2eik2 x
Ψ 3 ( x) A3e
ik1 x
B3e
ik1x
B3 = 0
0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x=0 处 x=a 处
L l (l 1)
l = 0 , 1 , 2 , … , n-1
3. 角动量空间量子化
角动量 L 的在外磁场方向Z 的投影
Lz ml
磁量子数
ml = 0 , ±1 , ±2 , … , ±l
例
l = 2 电子角动量的大小及可能的空间取向 ？ L 的大小
磁量子数
L 2(2 1) 6
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一、波函数及其统计解释
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子状态
例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，其能量 E 、动量 P 为常 量，所以 v (= E / h ) 、 ( = h / P ) 不随时间变化，其 物质波是单色平面波，波函数为
a
Ψ1 (0) Ψ 2 (0)
Ψ 2 (a) Ψ 3 (a)
dΨ1 dx dΨ 2 dx
x 0
dΨ 2 dx dΨ 3 dx
x 0
xa
x a
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从而得到反射 系数
R | B1 |2 / | A1 |2 和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2 分别为
dV
说明
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率
Ψ(r , t )
dV
2 dW | Ψ(r , t ) | dV
• 归一化条件
r
o
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
粒子在整个空间出现的概率为 1 • 波函数必须单值、有限、连续
概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续。
2 2 (k12 k 2 ) sin 2 (k 2 a) R 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k 2 a) 4k12 k 2 2 4k12 k 2 T 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T R 1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=7 N=100 电子数 N=70000 电子数 N=3000 N=20000 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 2 dW | Ψ (r , t ) | dV * Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
Ψ(r , t )
r
o
1 me4 E1 En 2 ( 2 2 ) 2 n 8 0 h n
电子云密度
主量子数 n = 1 , 2 , 3 , …
概率密度ψnlm2（r,θ,）
电子在波尔轨道上 出现的概率最大 2. 角动量量子化
电子绕核转动的角动量 L 的大小 角量子数
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1 …
二、薛定谔方程 (描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 )
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ， 其运动微分方程为
2 2 2 2 (r , t ) 2m x 2 y 2 z 2 V (r , t ) (r , t ) i t
由于磁场作用, 原子附加能量为
E ml B B
• 能级分裂
其中
ml = 0, ±1, ± 2, …, ± l ml
1 0 -1 △E
无磁场
l=1
有磁场
← 能 级 简 并
B B
B B
0
l=0
v0
v0
0
0
v0-△v
v0+△v
ml = 0 , ± 1 , ± 2
L 在 Z 方向的投影 z
2

Lz 2, , 0, , 2
z

L 6
0

2
0

l2
l 1 L 2
4. 塞曼效应 (1) 实验现象
光源处于磁场中时，一条谱 线会分裂成若干条谱线。
光 源
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
势能函数 V (x) = 0 ， V (x) = ∞ ， 0<x<a 0<x或x>a

dV Fx dx
V(x)
Ψ( x) 0
Ψ( x) 0
0
a
x
0 > x 或 x < a 区域
Ψ ( x) 0
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
定态
薛定谔方程
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
粒子能量 说明 (1) 势能函数 V 不随时间变化。 (2) 求解 E（粒子能量）
描 述 外 力 场 的 势 能 函 数
( r ) (定态波函数)
三、一维无限深势阱中的粒子
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )

Ψ 0e
i ( Et px)
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
说明
• 单个粒子的出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统 计规律。
可得
An a / 2
粒子能量
a
x
波函数
2 nπ Ψ n ( x) sin x a a
2 h 2 En n 2 n E1 2 8ma
四、隧道效应（势垒贯穿）
势垒 Ⅰ区 Ⅱ区 U(x) =0 U ( x ) = U0 x≤0 0≤ x ≤ a Ⅰ
U0 Ⅱ Ⅲ
E
0
Ⅲ区
U(x) =0
自然地得到了能量量子化结论
量子数为 n 的定态波函数为
E3 32 E1
nπ Ψ n x An sin kx An sin x a
由归一化条件
E2 22 E1
2 a 0



| Ψ n ( x) | dx | Ψ n ( x) |2dx 1
E1
0 波函数 概率密度分布
粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数
1 eV
电子 1 eV 质子 1 eV
2 eV
2 eV 2 eVபைடு நூலகம்
5×10-10 m 2×10-10 m 2×10-10 m
0.024
0.51
3×10-38
五、氢原子
2 2 2 2m ( 2 2 2 )Ψ 2 E V Ψ 0 x y z
薛定谔 方 程
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间 变化，粒子处于定态，定态波函数写为
E i t
Ψ (r , t ) Ψ (r )e
得
2 2 2 2m x 2 y 2 z 2 Ψ(r ) 2 E V Ψ(r ) 0
x≥a
a
定态薛定谔方程：
x
Ⅰ区
Ⅱ区 Ⅲ区
d 2Ψ1 ( x) 2 k 1Ψ 1 ( x) 0 2 dx d 2Ψ2 ( x) 2 k 2Ψ2 ( x ) 0 2 dx d 2Ψ3 ( x) 2 k 1 Ψ3 ( x ) 0 2 dx