2π
π
• 对 r与ϕ进行积分
∫
2π
0
dϕ ∫
∞
0
r − ⎡ ⎤ 1 2 a r ⎢ e ⎥ dr sin θdθ 3 ⎣8πa ⎦
2a 3 = 2π ⋅ sin θdθ 3 8πa 1 = sin θdθ 2
4.平面波归一化
Ⅰ. δ 函数 定义 δ ( x − x ) = ⎧0 ⎨ 0 且
x ≠ x0 x = x0
2
ψ (r) ——电子出现在 r 点附近几率大小 ψ (r) ——描述微观粒子的状态（几率波幅）
ψ ( r ) ——几率密度 ψ ( r ) dxdydz ——在 r 点处，体积元dxdydz中 找到粒子的几率
2 2
2
(4)波函数性质
1.几率和几率密度 dτ = dxdydz 内找到由波函数ψ (r , t ) � 在t时刻，点，体积元 r 2 描写粒子的几率 dw(r , t ) = cψ (r , t ) dτ � 在t时刻， r 点，单位体积内找到粒子几率 2 w(r , t ) = cψ (r , t ) 几率密度： � 在体积V内，t时刻找到粒子几率
ϕ ( p)是ψ (r )的傅氏变换
- p ⋅r 1 3 ℏ ϕ ( p) = ψ ( r ) e d r 3 / 2 ∫∫∫ (2πℏ)
唯一确定 ψ (r ) ←⎯ ⎯ ⎯→ ϕ ( p )一一对应
i
二者描述同一量子态
• ψ (r ) —— 以 r 为自变量，坐标表象波函数 • ϕ ( p) —— 以为自变量，动量表象波函数 � 2 —— 粒子在坐标空间的几率密度 •ψ ( r ) � 2 ϕ ( p • ) ——粒子动量分布几率密度 � � � � 2 3 ( p , p + d p ) 范围内几率 • ϕ ( p) d p ——粒子动量在
0 0 ∞ −
π
r a 2
= 2π × 2 ∫ r 2 e dr
0
r a
= 8πa 3
归一化系数
∫
∞
1 ψ (r , t ) dτ = 1 A
2
1 1 = A 8πa 3
• 在 r0～r0 + dr 中几率
r − 0⎤ ⎡ 1 2 a d ϕ d θ ⋅ e r ⎥ 0 dr 3 ∫0 ∫0 ⎢ ⎣8πa ⎦ r02 − ra0 r02 − ra0 = 2π × 2 ⋅ e = 3 e dr 3 8πa 2a
f ( x) ⎯⎯ ⎯→ δ ( x − x0 ) ⎯ ⎯→ f ( x0 )
筛选器，仅让 f ( x0 ) 过去 注：i）三维
δ ( x − x0 )
⎧0 δ (r ) = δ ( x)δ ( y )δ ( z ) = ⎨ ⎩∞
r≠0 r =0
且
dxdydz = 1 ∫∫∫δ（r）
全
Ⅱ性质：
a.δ (− x) = δ ( x)
1 c.δ (ax) = δ ( x) a
b.xδ ( x) = 0 f ( x)δ ( x − a) = f (a)δ ( x − a ) 1 d .δ ( x 2 − a 2) = [δ ( x + a) + δ ( x − a)] 2a
Ⅲ δ 函数常用表达式
1 a. δ ( x) = 2π 1 +∞ i ℏ ikx ⎯→ e dp ∫−∞ e dk ⎯⎯ ∫ 2πℏ −∞
∫∫∫
f (r ) d r = ∫∫∫ g (k ) d 3 k
2
3
2
4.动量几率分布
For 自由粒子 ψ =
( p ⋅r − Et ) 1 ℏ e 3/ 2 (2πℏ )
i
(p =
h = ℏk λ
E = hν = ℏω )
For 一般粒子 ψ ——许多单色平面波叠加
p ⋅r 1 ℏ ψ (r ) = ∑ ϕ ( p) e 3/ 2 (2πℏ ) p p ⋅r 1 3 ℏ ψ (r ) = ϕ ( p ) e d p 3 / 2 ∫∫∫ (2πℏ ) i i
�ห้องสมุดไป่ตู้( x) = e ψp 0
动量不确定度∆p = 0
� ( x) = 1 ψp 0 2
粒子在空间各点几率相同。粒子位置不确定度 ∆x = ∞ 位置完全不确定
2）设一维粒子具有确定位置 x0 .∆x = 0 波函数
ψ x 0 ( x ) = δ ( x − x0 )
px −i 1 ℏ ψ ( x ) e dx x ∫ 0 2πℏ
2
3D测x
� ψ ( r ) 归一化
x = 〈 x〉 =
� � ψ * (r )xψ (r )d 3 r −∞ � � x = (ψ (r ), xψ (r ))
+∞
∫ =∫
+∞
−∞
� 2 3 xψ (r ) d r
②
� V ( r 势能 )
的平均值、
� 2 � V = ∫∫∫ψ (r ) V (r ) � � � = (ψ (r ),V (r )ψ (r ))
−i 1 e 2πℏ
其傅氏变换 ϕ ( p) =
=
px0 ℏ
ϕ ( p) =
2
1 2πℏ
粒子动量取各种值概率相同 ∆p = 0
∆x ⋅ ∆p x ≥ ℏ 2
①微观粒子坐标与动量不能同时具有确定值 ②经典
ℏ−0 ∆x ⋅ ∆p ≥ 0
3）见书本11业例3
§1.1.6力学量平均值与算符引进
1.力学量平均值
• 例：若ψ (r , t ) = e
−
r −iω t 2a
求其归一化系数及相关几率
2
∫ ψ (r , t ) dτ =
= =
2
∫ ∫ ∫
∞
ψ (r , t ) r 2 sin θdrdθdϕ e
r 2 − 2a
∞ ∞
e −iωt r 2 sin θdrdθdϕ
2π −
0
dr ∫ dθ ∫ dϕe r sin θ
iω t
2 2
I 2 = h2 ( x)
h( x) = [h1 ( x) + h2 ( x)]e iωt
* 总 h1 ( x) + h2 ( x) = h1 ( x) + h 2( x) + h1 ( x) h2 ( x) + h1* ( x)h2 ( x) 2 2 2
(3)微粒衍射实验 1.入射电子流大，很快显示衍射图样 2.入射电子流小，开始时显示电子的微粒性 ，长时间——衍射图样 3.波函数 ψ (r ) ——衍射波波幅 “粒子观点”——极大值——电子多 ψ (r ) “波动观点”——极大值——波强大
③
� � � � 2 3 � ( p , p + d p ) ϕ ( p ) d p ψ (r ) 测得粒子动量在 范围内几率为 � � 2� � p = ∫ ϕ ( p) pdp � ϕ ( p) = 1 (2πℏ)
3 2
� 动量 p
平均值
� ψ ( r ∫∫∫ )e
� � p ⋅r −i ℏ
d 3r
2
−∞
∫
+∞
−∞
f ( x) dx = ∫ g (k ) dk
−∞
2
+∞
3.三维傅氏变换
定义： 设f (r )是r的函数
i k ⋅r 3 f (r ) = g ( k ) e d k 3 ∫∫∫ 2 （2π） k ⋅ r = kx x + k y y + kz z
1
且
g (k ) ~ f (r )的傅氏变换 1 − i k ⋅r 3 g (k ) = f ( r ) e d r 3 ∫∫∫ 2 （2π）
1.傅里叶变换
(1)定义：设f(x)是x的某个函数，若 2.二个定理 (1)如果 则 (2)
1 f ( x) = 2π 1 g (k ) = 2π
1 f ( x) = 2π
ikx g ( k ) e dk ——g(k)称为f(x)的傅里叶变换 ∫−∞
+∞
∫ ∫
+∞
−∞ +∞
g (k )eikx dk f ( x)e −ikx dx
当可能值为离散值，一个物理量平均值等于物理 量的各种可能值乘上相应几率求解 ①位置（坐标）x的平均值 a）经典
x 次数 几率 3 2 0.4 5 1 0.2 6 2 0.4
x = 0.4 × 3 + 0.2 × 5 + 0.4 × 6 = 4.6
b）量子 1D测x
概率 ψ ( x)
2
〈 x〉 = x = ∫ xψ ( x) dx
+∞
k=
p ℏ
px
i 1 ℏ 三维：δ（r） = e dp 3 ∫∫∫ (2πℏ) sin αx b. δ ( x) = lim πx α →∞
p ⋅r
（5）多粒子波函数
Ⅰ二个粒子波函数 � � 2 ψ (r1 , r2 ) ——几率密度
� 2位于 r2 附近的概率
� � ψ (r1 , r2 )
+∞ 3 * −∞ −∞
� � d 3 p] ψ * (r )ψ (r ' )
+∞ � � � 2 3 d rψ (r )ψ (r ) = ∫ ψ (r ) d r
§1.1.5不确定度关系
微观粒子 经典粒子 1.三个例子
� ψ ( r 用 ) 描写状态 � � r 用 、p 来描述
1）一维例子具有确定动量 p x i 0 平面波 ℏ
2
3.归一化函数 ψ (r , t )与cψ (r , t ) 所描述状态的相对几率是相同 的——描述同一状态 归一化常数：
ψ (r , t )没有归一化
2
∫