第二讲角平分线模型的构造3月
角平分线
(I)定义：如图2-1，如果/ AOB = / BOC，那么/
A0C=2 / AOB=2 / BOC，像OB 这样，从一个角的
顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫
作这个角的角平分线.
⑷若过P点作PQ// ON交OM于点Q,如图2-2(d)，
可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线
十平行线，等腰三角形必呈现” •
例1
(1)如图2-3(a),在厶ABC 中，/ C=90。
，AD 平分
/ CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D
到直线AB的距离是( )cm.
(2)角平分线的性质定理
①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个
角分成两个相等的角，
②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相
等.
(3)角平分线的判定定理
①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重
合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这
个角的平分线，
②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个
角的平分线上，
与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的
四大基本模型，
已知P是/ MON平分线上一点，
(I)若PA丄OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作
PB丄ON于点B，贝U PB=PA.可记为“图中有角平
分线，可向两边作垂线”
图2-3 (a)
⑵如图2-3(b)，已知：/仁/2，Z 3=Z4, 求
证：AP平分/ BAC .
⑵若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△ OPB
OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”.
⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(c)，可以延长AP 交ON于点B，构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合
、亠、亠K
”
(b)
例2
如图 2-4(a), Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB ，垂足为D. AF 平分/ CAB ,交CD 于点E , 交CB 于点F
⑴求证：CE= CF.
例3
阅读下列学习材料：
如图2-5(a)所示，0P 平分/ MON ，A 为0M 上一 点，C 为0P 上一点，连接AC ，在射线ON 上截 取OB =0A ，连接BC(如图2-5(b))，易证△ AOC
BOC.
请根据上面的学习材料，解答下列各题：
(I )
如图
2-5(c )
所示，在厶
A B C
中，
A D
是厶
B A C
的
平分线，P 是A D 上异于点A 的任意一点，试比较P B + P C 与A B + A C 的大小，并说明理
⑵将图2-4(a)中的△ ADE沿AB向右平移到△ A，D，E，
的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-
4(b)所示•试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.
⑵如图2-5(d)所示，AD是
厶
A
B
C
的
内
角
平
分
线
，
其
它
条
件
不
变
，
试
比
较
P
C
—
P
B
C
—
A
B
的
大
小
，
并
说
明
理
由
.
C
图2-5
( d)
例4
如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中，/
A=90°, AB=AC , BD 平分/ ABC , CE丄BD , 垂
足为点E,
求证：BD=2CE.
⑵如图2-7(b), BD、CE分别是△ ABC的内角平
分线，其它条件不变；
⑶如图2-7(c), BD ABC的内角平分线，CE
ABC的外角平分线，其它条件不变，
则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还
平行吗？它与△ ABC三边又有怎样的数量关系？请
写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。
(1)如图2-7(a), BD、CE分别是△ ABC的外角平
分
线，
为
D、
过点A作AD上BD、AE
丄CE
,垂足分别
E,连接DE.
DE // BC, DE=；(AB+BC+AC);
C
变式
如图2-8,在厶ABC中，AB=3AC, / BAC的平分线交
BC于点D，过点B作BE丄AD，垂足为E, 求证：
AD=DE
(4)如图2-9(d), BD平分/ ABC , CD平分外角/
ACG. DE // BC 交AB 于点E,交AC 于点F 线段
EF与BE、CF有什么关系？并说明理由.
例6
如图2-9(a), AB=AC , BD, CD 分别平分/ ABC , /
ACB .问：
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形？
⑵过D点作EF// BC,如图2-9(b)，交AB于点E, 交
AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形？⑶如图
2-9(c)，若将题中的△ ABC改为不等边三角形，其
他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线
段EF与BE、CF有什么关系？
A
图2-9 (c)
⑸如图2-9(e), BD、CD 为外角/ CBM、/ BCN 的平
分线，DE // BC交AB延长线于点E,交AC 延长线于
点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？
例7如图2-10(a)所示，已知△ ABC中，AC=BC , /
C=90°, AD 平分/ CAB ,
求证：AB=ACD
B
C
变式1
如图2-11所示，已知△ ABC 中，AB=AC , / A=108 ° , BD 平分/ ABC. 求证：BC=AB + CD.
例8
如图2-13(a), OP 是/ MON 的平分线，请你利用 该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角
请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问 题：
(1)如图2-13(b),在厶ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60°, AD 、CE 分别是/ BAC 、/ BCA 的平分 线，AD 、CE 相交于点F.请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；
变式2
如图 2-12,已知△ ABC 中，AB=AC , / A=IOO BD 平分/ ABC , 求证：BC=BD + AD.
⑵如图2-13(c),在厶ABC 中，如果/ ACB 不是直 角，而(I)中的其他条件不变，请问，你在(1)中 所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成 立，请说明理由.
C
牛刀小试
(I)如图2-14 (a),在厶ABC 中，/ ABC 与/ ACB
的角平分线相交于点F,过点F作DF // BC,交
AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段
DE之长为( )
3、已知如图2-16，四边形ABCD 中，/ B+ =
D=180°, BC=CD.
求证：AC平分/ BAD.
(2)如图2-14(b)，在△ ABC中，BD、CD分别平分 / ABC 和/ACB , DE / AB , FD // AC., BC=6, 求厶DEF 的周长，
4
.
如
图
2
-
1
7
,
^
A
B
C
的
外
角
/
A
图2-14(b)
C
C D 的平分线C P 与内角/ A B C 的平分线B P 交于点P ,连接A P 、C P , 若/ B P C = 4 0。
,求/ C
A
P
的
度
数
.
2.已知：如图2-15,Z BAD= / CAD , AB>AC , CD丄AD
于点D.H是BC中点.
1
求证：DH =—(AB —AC).
2
5.已知：如图2-18,在四边形中，BC>AB , AD=CD ,
BD 平分/ ABC.
求证：/ A+ / C=180°
⑵若/ABC=90 ° , G是EF的中点(如图2-19(b),
直接写出/ BDG的度数；
6.在平行四边形ABCD中，/ BAD的平分线交直线BC
于点E,交直线DC于点F.
⑴在图2-19(a)中证明CE= CF;
⑶若/ABC= 120°, FG// CE, FG=CE，分别连
7.已知：如图2-20,在厶ODC中，/ D 一90°, EC
是/DCO的角平分线，且OE= CE,过点E 作EF丄OC
交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并
证明.
8.已知：如图2-21,在四边形ABCD中，AB+BC =CD
+ DA，/ ABC的外角角平分线与/ CDA的外角平分线
交于点P，
求证：/ APB= / CPD.
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