第十四届中环杯五年级决赛一、填空题（每小题5分，共50分）1. 计算：11.99×73+1.09×297+21×(32-12) 【分析】原式=11×1.09×73+1.09×11×27+4=11×1.09×100+4=1199+4=12032. 420×814×1616除以13的余数为【分析】420×814×1616≡4×8×4≡128≡11(13)3. 五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7，如果从乙班调3人去甲班，甲班学生人数就是乙班学生人数的4/5，甲班原有学生人【分析】原来人数比为甲：乙=5: 7=15: 21，人数调整后人数比为甲：乙=4 : 5=16 : 20，前后两次总人数不变，因此将总人数变为[(5+7),(4+5)]=36份，比例调整如上，发现人数调整为1份，因此1份为3人，所以甲班原有学生15×3=45人。

4. 已知990×991×992×993=4091966428B A ，则AB =【分析】由于99丨990，所以99 丨4091966428B A所以99 丨96+64+289A B 140→99 丨AB +247→505. 如图，△面积为60，E 、F 分别为和上的点，满足3，3，点D 是线段上的动点，设△的面积为S 1, △的面积为S 2，则S 1×S 2的最大值为.【分析】由于31==AC AF AB AE ，所以 ∥ 所以 1→S 1232 =40 和一定时，差越小，积越大，所以当 S 1 2 时，即D 为中点时，S 1×S 2最大为20×20=4006．如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，则这个算式乘积的最大值和最小值的之差为.【分析】易得，乘数中下方数的十位为1，因为十位数字乘上面的数得到的积为三位数，为百位上的2乘上面的数得到的积为四位数。

由于1乘上面的数得到的积十位为1，因此上面数的十位也为1。

由于百位上的2乘以上面的数得到的个位为4，所以上面的数个位为2或7。

先考虑乘积的最大值，要使乘积大，则两个乘数要大。

考虑上面的数百位为9，经枚举，无论个位是几，917、912均无法乘出百位为0的乘积。

所以考虑上面的数百位为8，则下面为5符合要求。

所以乘积最大为817×215=175655。

再考虑乘积的最小值，要使乘积小，则两个乘数要小，考虑上面的数百位最小为5，否则乘以2无法得到四位数，则下面为2符合要求，所以乘积最小为512×212=108544所以乘积的最大值与最小值之差为175655-108544=671117. 有15位选手参加一个围棋锦标赛，每两个人之间需要比赛一场，赢一场得2分，平一场各得1分，输一场得0分，如果一位选手的得分不少于20分，他就能获得一份奖品，那么，最多有位选手获得奖品。

C×2=210分，210÷20=10 (10)【分析】比赛结束后，15位选手总得分为215所以理论上最多有10名选手得分能不低于20分若有10位选手获得奖品，则剩余5名选手得分不能大于10分而事实上，这5名选手之间共比赛10场，总共能产生20分所以这5名选手的得分不会少于20分，矛盾所以10位选手获得奖品的情况不存在考虑9名选手获得奖品，则剩余6名选手得分不能大于30分这是可行的，前9名选手两两之间都和棋，各得8分，这9名选手均战胜剩余6名选手，各得12分，则这9名选手均得20分，而剩余6名选手每人已负9场，得分不能大于10分。

综上，最多有9位选手能获得奖品。

8. 在一场1000米的比赛中，一个沙漏以相同的速率在漏沙了，漏出来的沙子都掉入一个杯中（这个沙漏是在比赛进行了一段时间后才开始漏沙的），小明以匀速进行跑动，当他跑到200米的时候，第a颗沙子正好掉入杯中，当他跑到300米的时候，第bc颗沙子正好掉入杯中, 当他跑到400米的时候，第de颗沙子正好掉入杯中, 当他跑到500米的时候，第fg颗沙子正好掉入杯中(a、b、c、d、e、f、g都是0-9的数字，并且它们的值可以相等)，我们发现：（1）a是2的倍数，（2）bc是一个质数；（3）de是5的倍数；（4）fg是3的倍数，那么四位数debc(如果有多个解，需要将多个解都写在横线上)。

【分析】由沙漏匀速漏沙子，可知fg de de bc bc所以，不妨设bc，de2k ，fg3k ，由3丨fg→3丨3k→3丨a，又a是2的倍数，所以a是2、3的公倍数所以0或6若0，则由5丨de→5 丨2k→5 丨k ，即5丨bc，与bc是个质数矛盾故6由bc=6→k≥4，由fg=6+3k→k≤31由5丨de→5丨6+ 2k→k 的个位为2或7而bc=6是个质数，所以k 为奇数，且不能是3的倍数于是k 的个位为7，且在4~31之间，且不能是3的倍数所以，k 的取值可能有7、17当7时，6，bc=13，de=20，fg=27，符合要求，此时debc=2013当17时，6，bc=23，de=40，fg=57，符合要求，此时debc=4023综上，debc=2013或40239. 如图a,7个汉字写在图中的7个圆圈中，要求从某一个圆圈开始，沿着线段一笔画这个图形（所有圆圈都要走到，而且只能走一次），将这个一笔画路径上的字连成字串（如图b,从“中”开始一笔画，得到的字串为“中环难杯真的好”）。

那么能够组成的不同字串有个。

【分析】从中出发，组成的字串有：从中到难后，有2条：中难环杯真的好，中难好的真杯环从中到环，有8条：中环难杯真的好，中环难好的真杯，中环杯难真的好，中环杯难好的真，中环杯真难好的，中环杯真难的好，中环杯真的难好，中环杯真的好难所以，从中到好，也有8条因此从中开始的路线有18条因此，从环、杯、真、的、好、难开始的路线也有18条从难开始，第一步有6种选择，以后有顺时针、逆时针2种选择，所以，从南开始的字串有12条综上，共有18×6+12=120条不同的字串10. 如图两个正方形，点H 是中点，31=DC DF .连结、、、，正方形的面积为m 平方厘米，阴影部分的面积为n 平方厘米，已知m 、n 都是正整数，且m 有9个约数，则正方形的边长为厘米。

【分析】如下图，连结不妨设两个正方形的边长为a由已知，21，31，32， 因为∥，所以a GM AD AG DF GM 6121=⇒==所以31 由沙漏，ID HI DF MH ID HI =⇒==1 所以 m S S S S GECD HDC HDF HIF 121213121312121=⨯⨯=⨯==因为∥，所以a EN BC BE CF EN 3121=⇒== 所以61 由沙漏，JC HJ CF HN JC HJ ⨯=⇒==4141 所以m S S S S GECD HDC HCF HJF 151213251325151=⨯⨯=⨯==所以m m m n 203151121=+= 因为均为正整数，所以m 为20的倍数，即m 含有质因子2、5，又m 有9个约数，所以22×52=100所以正方形的边长为10厘米。

二、动手动脑题（每小题10分，共50分，除第15题外请给出详细解题步骤）11. 两人同时从两地出发，相向而行，甲每小时行12.5千米，乙每小时行10千米，甲行30分钟，到达恒生银行门口，想起来自己的信用卡没有带，所以他原速返回A 地去拿卡，找到卡后，甲又用元素返往B 地，结果当乙达到A 地时，甲还需要15分钟到达B 地，那么A 、B 间的距离是多少厘米？【分析】甲花了半小时到达恒生银行门口，又原速返回，所以回到A 地时，又用了半个小 时，再加上找卡的半小时，当甲再次出发时，乙已经走了1.5小时假设乙从B 地到A 地共用时1.5小时则甲从A 地到B 地需用t 小时加15分钟，即41小时 可列得方程：10（ 1.5）=12.5×（41） 解得419 所以A 、B 间的距离为12.5×（419+41）=62.5千米。

12. 如果一个数的奇约数个数有2m 个（m 为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1,3，一共2=21，所以3是一个“中环数”。

再比如21的奇约数有1,3,7,21,4=22，所以21 也是一个中环数。

我们希望能找到n 个连续的中环数。

求n 的最大值。

【分析】将一个数分解质因数，得到n an a a p p p N ⨯⨯⨯=Λ2121，则这个数约数的个数为()()()11121+⨯⨯+⨯+n a a a Λ而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数 所以将一个数分解质因数，得到n a n a a p p N ⨯⨯⨯=Λ21212（1a 可以为0）则N 的奇约数个数为()()()11132+⨯⨯+⨯+n a a a Λ现在我们要写出连续的n 个数，使得每个数均有()()()11132+⨯⨯+⨯+n a a a Λ=2m首先证明n ≤17观察如下三个数：k ⨯23，()132+⨯k ，()232+⨯k 易知，k ，1，2中有且仅有1个是3的倍数所以k ⨯23，()132+⨯k ，()232+⨯k 这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：n a n a a p p N ⨯⨯⨯⨯=Λ1012132（0a 可以为0）形如这样的数，奇约数个数为()()1131+⨯⨯+⨯n a a Λ不可能是2的幂，即不符合要求因此k ⨯23，()132+⨯k ，()232+⨯k 这三个数中至少有2个不符合要求 即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”若n ≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数因此，n ≤17而127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143这17个数的奇约数个数分别有：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，均为“中环数”因此n 的最大值为1713. 下左图是一个奇怪的黑箱子，这个额黑箱子有一个输入口，一个输出口，我们在输入口输入一个数字，那么在输出口就会产生一个数字结果，其遵循的规则是：（1）如果输入的是奇数k输出的是，41（2）如果输入的是偶数k,输出的是，k÷2比如输入的是数字8，那么输出的就是8÷2=2, 输入的是数字3，那么输出的就是3x4+1=13. 现在将3个这样的黑箱子串联起来，如下右图，这样第一个黑箱子的输出成为第二个黑箱子的输入，依次类推，比如输入的数字16，经过第一个黑箱子，得到的结果是8，这个8就作为第二个黑箱子的输入，经过第二个黑箱子，得到结果4，这个4就作为第三个黑箱子的输入，经过第三个黑箱子，得到结果2，这个2结果就是最后的输出了。