解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

(3）三条边之间的关系：。

以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。

这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。

分析一：所求AB是Rt△ABC的斜边，但在Rt△ABC 中只知一个锐角A＝α，暂不可解。

而在Rt△ADE中,已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt△ADE入手。

解法一:在Rt△ADE中，∵cosA=AEAD,且∠A＝α，AE＝1,∴AD=cosAEA=1cos,在Rt△ADC中，∵cosA=ADAC,∴AC=cosADA=1coscosαα=21cosα，在Rt△ABC中,∵cosA=ACAB，∴AC=cosACA=21coscosαα=31cosα。

分析二；观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高,具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。

解法二：同解法一得，∴AD=1cosα,在Rt△ACD中，∵AD2=AE.AC∴AC=2ADAE=21cosα，在Rt△ABC中，∵AC2=AD.AB∴AB=2ACAD=31cosα。

说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形.这样的问题,总是先解出已经具备条件的直角三角形,从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。

值得注意的是,由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形(图3），它是含有两个直角三角形的图形。

随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。

例2、如图3,在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。

(1）若BD＝2，∠B＝30°，求AD的长；（2）若∠ABC＝α，∠ADC＝β，求证：tanβ＝2tan α。

（1）分析：由AD 是BC 边的中线，只知DC 一条边长，仅此无法直接在Rt △ADC 中求解AD 。

而在Rt △ABC 中,由已知BC 边和∠B 可以先求出AC,从而使Rt △ADC 可解。

解：在Rt △ABC 中,∵BC ＝2BD ＝22，∠B ＝30°,∴AC ＝BC ·tanB ＝232⨯=26, 在Rt △ADC 中，∵DC ＝BD ＝2，∴AD=22AC BC +=423。

（2）分析：α和β分别为Rt △ABC 和Rt △ADC 中的锐角，且都以直角边AC 为对边，抓住图形的这个特征,根据直角三角形中锐角三角比可以证明tan β＝2tan α。

证明：在Rt △ABC 中，∵tan ∠ABC=ACBC，∠ABC=α,∴AC=BC 。

tan α, 在Rt △ADC 中,∵tan ∠ADC=ACDC,∠ADC=β，∴AC=DC.tan β，又∵BC ＝2DC ， ∴tan β＝2tan α。

例3、如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AD 是∠BAC 的平分线.（1）若AB ∶BD ＝3,求∠B ；（2)又若BD ＝4，求。

分析：已知AD 是∠BAC 的平分线,又知两条线段的比AB ∶BD ＝3，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt △ADC 中,先求出∠DAC 即可求得∠B 。

解：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，∴AB AC =BD CD ，即AB BD =ACCD3即 在Rt △ADC 中，∵cot ∠DAC=ACCD3,∴∠DAC ＝30°， ∴∠BAC ＝2∠DAC ＝60°， ∴∠B ＝90°-∠BAC ＝30°.（2）∵AB BD =3,BD ＝4，∴AB ＝3BD ＝43，∵∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝23，又∵BC ＝AB ·cosB ＝6，∴ABC S ∆＝12BC ·AC ＝12×6×23＝63.说明:解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。

例4、如图3，在Rt △ABC 中、∠C ＝90°,D 为BC 上一点，∠ABC ＝45°，∠ADC ＝60°，BD ＝1，求AB 。

分析:已知的角度告诉我们，Rt △ABC 和Rt △ADC 都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数,根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解。

解：在Rt △ADC 中，设DC ＝x,∵∠ADC ＝60°，∴AD ＝2x,AC ＝3x,在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝45°，BD ＝1,∴1＋x ＝3x ，∴x ＝31+, ∴AB ＝2AC ＝6x ＝3262+。

说明：解直角三角形时,要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程。

还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁.例5、如图4,在△ABC 中、D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC.分析：由数形结合易知，△ABC 是直角三角形,AF 为斜边上的高线，CF 是直角边AC 在斜边上的射影，AC 为所求，已知的另外两边都在△BDC 中，且BD ＝DC ＝1，即△BDC 是等腰三角形。

因此，可以过D 作DE ⊥BC ，拓开思路。

由于DE ，AF 同垂直于BC ，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC 。

解：在△ABC 中,设AC 为x ，∵AB ⊥AC,AF ⊥BC ，又FC ＝1,根据射影定理，得：，即BC ＝。

再由射影定理， 得：，.在△BDC中,过D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF,.在Rt△DEC中，∵DE2+EC2=DC2，即,整理得x6=4，∴x=32∴AC=32.说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用.还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。

3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形解决实际问题,包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面.解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决.例6、某型号飞机的机翼形状如图5，根据图示尺寸计算AC、BD和AB的长度（保留三个有效数字）。

分析；飞机机翼形状为四边形ABDC ，要求其中三条边的长度，一方面应使所求线段成为直角三角形的元素,另一方面，要设法将已知条件与未知量集中在某个三角形中以求解，这就需要恰当地构造直角三角形。

解:过C 作CE ⊥BA,交BA 的延长线于E 。

在Rt △ACE 中，∵∠ACE ＝45°，CE ＝5，∴AC ＝2CE ≈1。

414×5＝7。

07.过D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于F ，且与AC 交于G,在Rt △BDF 中，∵∠BDF ＝30°，DF ＝5，∴BD ＝cos30DF =50.866=5。

77,∴BF=12BD =2。

885∴AB ＝BF —AF ＝BF —FG ＝BF —（DF —DG ）＝BF-（DF —CD ）＝2。

885-（5-3。

4）≈1.29(米）. 说明：解决实际问题时,计算常有精确度的要求，应注意近似计算的法则和规范表述。

例7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38°，沿倾斜角为25°的山坡前进800米后，又测得山顶的仰角为62°,求山的高度(精确到0.1米）.(cos13°=0.9744, sin13°=0。

2250，cot24°=2.246，sin38°=0。

6157)分析：先根据题意画出示意图（如图6)，BC 为山高，AD 为山坡，∠DAC ＝25°,因为仰角为视线与水平线的夹角，所以∠BAC ＝38°，AD ＝800米,∠BDE ＝62°，要直接在Rt △ABC 中求BC 不够条件，必须设法先求出AB,这就需要根据已知条件，构造直角三角形。

解：过D 作DF ⊥AB 于F,在Rt △ADF 中，∠DAF ＝38°-25°＝13°， ∴AF ＝AD ·cos ∠DAF ＝800×0.9744＝779。

5， DF ＝AD ·sin ∠DAF ＝800×0.2250＝180.0。