（2）因为
所以
例4.5.2已知电场强度复矢量 ，其中 和 为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。
解：根据式（4.5.3），可得电场强度的瞬时矢量
4.5.2复矢量的麦克斯韦方程
对于一般的时变电磁场，麦克斯韦方程组为
在时谐电磁场中，对时间的导数可用复数形式表示为
利用此运算规律，可将麦克斯韦方程组写成
将微分算子“ ”与实部符号“ ”交换顺序，有
任意时谐矢量函数 可分解为三个分量 ，每一个分量都是时谐标量函数，即
它们可用复数表示为
于是
（4.5.3）
其中
（4.5.4）
称为时谐矢量函数 的复矢量。
式（4.5.3）是瞬时矢量 与复矢量 的关系。对于给定的瞬时矢量，由式（4.5.3）可写出与之相应的复矢量；反之，给定一个复矢量，由式（4.5.3）可写出与之相应的瞬时矢量。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量 满足的波动方程为
（4.1.6）
无源区域中的 或 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为
（4.1.7）
（4.1.8）
（4.1.9）
在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
以上分析表明电磁能量是电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。
4. 4惟一性定理
在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。
（4.2.5）
此式称为洛仑兹条件。
4.2.2达朗贝尔方程
在线性、各向同性的均匀媒质中，将 和 代入方程 ，则有
利用矢量恒等式 ，可得到
（4.2.6）
同样，将 代入 ，可得到
（4.2.7）
式（4.2.6）和式（4.2.7）是关于 和 得一组耦合微分方程，可通过适当地规定矢量位 的散度来加以简化。利用洛仑兹条件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到
4.2.1矢量位和标量位
由于磁场 的散度恒定于零，即 ，因此可以将磁场 表示为一个矢量函数 的旋度，即
（4.2.1）
式中的矢量函数 称为电磁场的矢量位，单位是 。
将式（4.2.1）代入方程 ，有
即
这表明 是无旋的，可以用一个标量函数 的梯度来表示，即
（4.2.2）
式中的标量函数 称为电磁场的标量位，单位是 。由式（4.2.2）可将电场强度矢量 用矢量位 和标量位 表示为
第4章 时变电磁场
在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
（4.2.3）
由式（4.2.1）和式（4.2.3）定义的矢量位和标量位并不是惟一的，也就是说，对于同样的 和 ，除了可用一组 和 来表示外，还存在另外的 和 ，使得 和 。实际上，设 为任意标量函数，令
（4.2.4）
则有
由于 为任意标量函数，所以由式（4.2.4）定义的 和 有无穷多组。出现这种现象的原因在于确定一个矢量场需要同时规定该矢量场的散度和旋度，而式（4.2.1）只规定了矢量位 的旋度，没有规定矢量位 的散度。因此，通过适当地规定矢量位 的散度，不仅可以得到惟一的 和 ，而且还可以使问题的求解得以简化。在电磁场工程中，通常规定矢量位 的散度为
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1波动方程
由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
（4.2.8）
（4.2.9）
式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛仑兹条件下，矢量位 和标量位 所满足的微分方程，称为达朗贝尔方程。
由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛仑兹条件使矢量位 和标量位 分离在两个独立的方程中，且矢量位 仅与电流密度 有关，而标量位 仅与电荷密度 有关，这对方程的求解是有利的。如果不采用洛仑兹条件，而选择另外的 ，得到的 和 的方程将不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最终由 和 求出的 和 是相同的。
惟一性定理指出：在以闭曲面 为边界的有界区域 内，如果给定 时刻的电场强度 和磁场强度 的初始值，并且在 时，给定边界面 上的电场强度 的切向分量或磁场强度 的切向分量，那么，在 时，区域 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
下面利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域 内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令
4.5.1时谐电磁场的复数表示
对于时谐电磁场可采用复数方法使问题的分析得以简化。设 是一个以角频率 随时间呈时谐变化的标量函数，其瞬时表示式标的函数， 为角频率， 是与时间无关的初相位。
利用复数取实部表示方法，可将式（4.5.1）写成
（4.5.2）
式中
称为复振幅，或称为 的复数形式。为了区别复数形式与实数形式，这里用打“·”的符号表示复数形式。
内
根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 内z 。因此，在内导体表面外侧的电场为
磁场则仍为
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图4.3.3所示。进入每单位长度内导体的功率为
式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
在时谐电磁场中，对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，式（4.5.9）可写为
（4.5.13）
式中
（4.5.14）
由此可见，这类导电媒质的欧姆损耗以负虚数形式反映在媒质的本构关系中。因此，称 为等效复介电常数或复电容率。
类似地，对于存在电极化损耗的电介质，表征其电极化特性的介电常数是一个复数
（4.5.15）
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情况外，求解波动方程常常是很复杂的。
4. 2电磁场的位函数
在静态场中引入了标量电位来描述电场，引入了矢量磁位和标量磁位来描述磁场，使对电场和磁场的分析得到很大程度的简化。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述，使一些问题的分析得到简化。
，
即
，
这就证明了惟一性定理。
惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。
4
在时电磁场中，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场，同时任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。因此，研究时谐电磁场具有重要意义。
4. 3电磁能量守恒定律
电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒质中，电场能量密度 与磁场能量密度 能量密度分别为
(4.3.1)
(4.3.2)
在时变电磁场中，电磁场能量密度 等于电场能量密度 与磁场能量密度 之和，即
(4.3.3)
当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡印廷矢量，用 表示，其单位为 （瓦/米2）。
称为复介电常数或复电容率。 表征电介质中的电极化损耗，是大于零的正数。在高频时谐场中， 和 都是频率的函数。
、
则 时，在区域 内， 和 的初始值为零；在 时，边界面 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 、 满足麦克斯韦方程
因此，根据坡印廷定理，应有
根据 或 的边界条件，上式左端的被积函数为
所以，得
由于 和 的初始值为零，将上式两边在 上对 积分，可得
上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有
在线性、各向同性的媒质中，当参数不随时间变化时
于是得到
再利用矢量恒等式
可得到
(4.3.4)
在体积 上，对式(4.3.4)两端积分，并应用散度定理，即可得到
(4.3.5)
这就是表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
在式(4.3.5)中，右端第一项 是在单位时间内体积 中所增加的电磁场能量；右端第二项 是在单位时间内电场对体积 中的电流所作的功，在导电媒质中， 即为体积 内总的损耗功率。根据能量守恒关系，式(4.3.5)左端的 则是单位时间内通过曲面 进入体积 的电磁能量，所以矢量 是一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。因此，我们将 定义为电磁能流密度矢量 ，即
（4.5.9）
（4.5.10）
（4.5.11）
（4.5.12）
4.5.3复电容率和复磁导率
实际的媒质都是有损耗的，电导率为有限值的导电媒质存在欧姆损耗，电介质的极化存在电极化损耗，磁介质的磁化存在磁化损耗。损耗的大小除与媒质的材料有关外，也与场随时间变化的快慢有关。一些媒质在低频场中损耗可以忽略，而在高频场中损耗往往就不能忽略了。