一、位移电流1. 求下列情况下的位移电流密度的大小： （1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度()80.15cos 9.3610 3.12A/m x t y =⨯-H e ；（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度()260.8cos 3.7710 1.2610T y t x -=⨯-⨯B e ；（3）一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度()260.9cos 3.7710 2.8110MV/m x t z -=⨯-⨯E e设油的相对介电常数5r ε=；（4）工频()50Hz f =下的金属导体中，()2sin 377117.1MA/m x t z =⨯-J e ，设金属导体的700,, 5.810S/m εεμμσ===⨯。

解 （1）由t∂∇⨯=∂D H 得 ()()88200.15cos 9.3610 3.120.468sin 9.3610 3.12A/m xy zx d z x zz H t xy z y H t y y t y ∂∂∂∂∂==∇⨯==-=∂∂∂∂∂∂⎡⎤-⨯-=⎣⎦∂-⨯-e e e D J H e e e故20.468A/m d =J（2）由0,tμ∂∇⨯==∂DH B H 得 ()()0002602621110010.8cos 3.7710 1.26100.802sin 3.7710 1.2610A/m xy z yd z yzz B t xy z x B t x x t x μμμμ--∂∂∂∂∂==∇⨯===∂∂∂∂∂∂⎡⎤⨯-⨯=⎣⎦∂⨯-⨯e e e D J B e e e故20.802A/m d =J（3） ()6260050.910cos 3.7710 2.8110r x t z εεε-⎡⎤==⨯⨯-⨯=⎣⎦D E e()1262658.85100.910cos 3.7710 2.8110x t z --⨯⨯⨯⨯⨯-⨯e()32621510sin 3.7710 2.8110A/m d x t z t--∂==-⨯⨯-⨯∂DJ e 故321510A/m d -=⨯J（4） ()67110sin 377117.15.810xt z σ==-=⨯JE e ()21.7210sin 377117.1V/m x t z -⨯-e ()()()122141228.8510 1.7210sin 377117.115.2610377cos 377117.157.5310cos 377117.1A/m x d x x t z t z tt z ε----==⨯⨯⨯-∂==⨯⨯-=∂⨯-D E e DJ e e 故12257.5310A/m d -=⨯J二、麦克斯韦方程组的直接应用1. 由置于3mm ρ=和10mm ρ=的导体圆柱面和z =0、z =20cm 的导体平面围成的圆柱形空间内充满116410F/m, 2.510H/m,0εμσ--=⨯=⨯=的媒质。

若设定媒质中的磁场强度为2cos10cos A/m z tφπωρ=H e ，利用麦克斯韦方程求：（1）ω；（2）E 。

解 （1）将题设的H 代入方程tε∂∇⨯=∂EH ，得 ()12cos10cos 210sin10cos z H H z t z z E z t tφρφρρρρρπωρρρππωερ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∇⨯=-+=- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂⨯==∂H e e e e e对时间t 积分，得12020sin10cos d sin10sin E z t t z t ρπππωπωερεωρ==⎰将E ρρ=E e 代入方程t μ∂∇⨯=-∂HE ，得 220sin10sin 200cos10sin E z t z z H z t tρφφφφφππωεωρππωμεωρ∂⎛⎫∂∇⨯== ⎪∂∂⎝⎭∂==∂E e e e e对时间t 积分，得222200200cos10sin d cos10cos H z t t z t φπππωπωμεωρμεωρ=-=⎰将上式与题设的2cos10cos H z t φπωρ=对比，得222218611100100102.510410ππωπμε--===⨯⨯⨯⨯ 故910rad/s ωπ=⨯（2）将91110rad/s,=410F/m ωπε-=⨯⨯代入20sin10sin E z t ρππωεωρ=中，得()()91193920sin10sin 104101010sin10sin 10V/m2z t z t ρρπππρπρ-=⨯⨯⨯=E e e三、边界条件的应用1. 媒质1的电参数为10101420εεμμσ===、、；媒质2的电参数为202εε=、20230μμσ==、。

两种媒质分界面上的法向单位矢量为0.640.60.48n x y z =+-e e e e ，由媒质2指向媒质1。

若已知媒质1内邻近分界面上的点P 处()23sin300T x y z t =-+B e e e ，求P 点处下列量的大小：()11n B ；()12t B ；()23n B ；()24t B 。

解:（1）1B 在分界面法线方向的分量为()()11230.640.60.480.64 1.2 1.442Tn n x y z x y z B ==-++-=--=B e e e e e e e（2） 222221111232 3.16T t n B B B =-=++-=（3）利用磁场边界条件，得TB B n n 221==（4）利用磁场边界条件，得0221103 3.16 4.74T 2t t B B μμμμ==⨯=t t H H 21=四、静电场与恒定电场1. 如图所示，一半径为a 、带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为1ε和2ε，分界面为无限大平面。

求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。

解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上12t t E E =，故有 12E E E ==。

由于111D E ε=、222D E ε=，所以12D D ≠。

由高斯定理，得到1122D S D S q +=即 221222r E r E q πεπε+= 所以 2122()q E r πεε=+导体球的电位2121()d d 2()aa q a E r r r ϕπεε∞∞===+⎰⎰122()qaπεε+ 故导体球的电容122()()qC a a πεεϕ==+ （2） 总的静电能量为2121()24()e q W q a aϕπεε==+2. 同心球形电容器的内导体半径为a ，外导体内半径为b ，其间填充介电常数与电导率分别为1ε 、1γ和2ε、2γ的两种有损耗介质，如例图所示。

若内外导体之间外加电压0U 。

求：（1）介质中的电场和电流分布；（2）电容器的漏电阻；（3）电容器的损耗功率。

解 （1）设由内导体流向外导体的径向电流为I ，则由d SI ⋅=⎰J S ，a2ε1εoq题 3.33图a b 1,1εγ2,2εγ 0U可得221222J r J r I ππ+=在两种介质的分界面上，电场与分界面平行。

根据边界条件12t t E E =，可知12E E E ==。

由于111J E γ=，222J E γ=，所以2122()r E I πγγ+= 即 2122()IE r πγγ=+ ()a r b <<又 0d baU E r ==⎰2121d 2()ba Ir rπγγ=+⎰12()2()b a I ab πγγ-+ 所以1202()abU I b aπγγ+=-故2()abU E b a r =- ()a r b <<10112()ab U J E b a r γγ==- ()a r b <<20222()ab U J E b a r γγ==- ()a r b << （2）电容器的漏电阻为0122()U b aR I abπγγ-==+ （3）电容器的损耗功率为212002()abU P IU b aπγγ+==-耗五、恒定磁场1. 真空中有一厚度为2d 的无限大载流块，电流密度为0z J =J e ，在其中心位置有一半径为a )(d a <的圆柱形空腔，如例图所示。

求空腔内的磁感应强度。

解 设空腔中同时存在有密度为0z J ±e 的两种电流分布，则可用安培环路定理和叠加原理来求出空腔内的磁感应强度电流密度为0z J e 的无限大均匀载流块产生的磁感应强度为100y J x μ=B e (x <d ) 电流密度为0z J -e 的无限长均匀载流圆柱产生的磁感应强度为d d a J xyo002()2x y J y x μ=-B e e 222()x y a +<根据叠加原理得到空腔内的磁感应强度为0012()2x y J y x μ=+=+B B B e e 222()x y a +<2. 如图所示，无限长直导体圆柱由电导率不相同的两层导体构成，内层导体的半径m m 21=a ，电导率7110S m γ=；外层导体的外半径m m 32=a ，电导率2γ=7410S m ⨯。

导体圆柱中沿轴线方向流过的电流为A I 100=，求导体圆柱内、外的磁感应强度B 。

解 电流沿轴线方向流动，则导体圆柱内的电场也沿轴线方向，根据边界条件，应有21E E =，则两层导体中的电流密度1J 和2J 不相同。

由11d S I J S =⎰22d S J S +=⎰22211212()a J a a J ππ+-利用111J E γ=、222J E γ=以及E E E ==21，有22211212[()]I a a a E πγπγ=+- 于是得到22211212()IE a a a πγπγ=+- 故有111122211212()I J E a a a γγπγπγ==+-27m A 12105π⨯= 222222211212()I J E a a a γγπγπγ==+-27m A 3105π⨯= 利用安培环路定律，当1a r <时，有21012rB r J φππμ=所以10110.833T 2B J r r φμ== 当21a r a <<时，有2222011122[()]rB a J r a J φπμππ=+-所以2011222()[]2a J J B J r r φμ-=+=51010T 3r r--当2a r >时，有II2γ1γ 1a2a例5.1图503210T 2I B r rφμπ-⨯==3, 同轴线的内导体是半径为a 的圆柱，外导体是半径为b 的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。