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中考数学压轴题提升训练:圆中证明及计算问题

精品基础教育教学资料,仅供参考,需要可下载使用!中考数学压轴题提升训练:圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:AB•CP=BD•CD;(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.【答案】见解析.【解析】(1)证明:连接OD.∵∠BAD=∠CAD,∴弧BD=弧CD,∴∠BOD=∠COD=90°,∵BC∥P A,∴∠ODP=∠BOD=90°,即OD⊥P A,∴PD是⊙O的切线.(2)证明:∵BC∥PD,∴∠PDC=∠BCD.∵∠BCD=∠BAD,∴∠BAD=∠PDC,∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠PCD=180°,∴∠ABD=∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD CD CP,∴AB•CP=BD•CD.(3)∵BC是直径,∴∠BAC=∠BDC=90°,∵AB=5,AC=12,由勾股定理得:BC=13,由(1)知,△BCD是等腰直角三角形,∴BD=CD,∵AB•CP=BD•CD.∴PC=169 10.【变式1-1】如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E.(1)求证:△ABE≌△CDE;(2)填空:①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6,BE=8,则EF的长为.【答案】(1)见解析;(2)60;9 2 .【解析】(1)证明:连接CE,∵AB=AC,CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD,∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE,同理,∠CED=∠ABC,∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,∴∠CED=∠AEB,∴△ABE≌△CDE;(2)①60;连接AO、OC,∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC=60,∴∠AEC=∠AOC=120°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵∠ACB=∠CAD+∠D,AC=CD,∴∠CAD=∠D=30°,∴∠ACE =30°, ∴∠OAE =∠OCE =60°, 即四边形AOCE 是平行四边形, ∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形; ②由(1)得:△ABE ≌△CDE , ∴BE =DE =8,AE =CE =6,∠D =∠EBC , 由∠CED =∠ABC =∠ACB , 得△ECD ∽△CFB , ∴CE CF DE BC ==68, ∵∠AFE =∠BFC ,∠AEB =∠FCB , ∴△AEF ∽△BCF ,∴EF CFAE BC =, 即668EF =,∴EF =92.【例2】如图,AB 为⊙O 的直径,点C 为AB 上方的圆上一动点,过点C 作⊙O 的切线l ,过点A 作直线l 的垂线AD ,交⊙O 于点D ,连接OC ,CD ,BC ,BD ,且BD 与OC 交于点E .(1)求证:△CDE ≌△CBE ; (2)若AB =4,填空:①当弧CD 的长度是 时,△OBE 是等腰三角形; ②当BC = 时,四边形OADC 为菱形.【答案】(1)见解析;(2)2π;2.【解析】(1)证明:延长AD 交直线l 于点F ,∵AD垂直于直线l,∴∠AFC=90°,∵直线l为⊙O切线,∴∠OCF=90°,∴∠AFC=∠OCF=90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴∠OEB=90°,∴OC⊥DB,∴DE=BE,∠DEC=∠BEC=90°,∵CE=CE,∴△CDE≌△CBE;(2)①如图2,连接OD,由(1)知∠OEB=90°,当△OBE是等腰三角形时,则△OEB为等腰直角三角形,∴∠BOE=∠OBE=45°,∵OD=OB,OE⊥BD,∴∠DOC=∠BOE=45°,∵AB =4, ∴OD =2, ∴弧CD 的长=452180π⨯=2π; ②当四边形OADC 为菱形时, 则AD =DC =OC =AO =2, 由(1)知,BC =DC , ∴BC =2.【变式2-1】(2019·河南南阳一模)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2,∠B =135°,则弧AC 的长为()A. 2πB. πC.2πD.3π【分析】根据弧长公式180n rl π=,需先确定弧AC 所对的圆心角∠AOC 的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC =2∠D ,根据圆内接四边形对角互补,求出∠D =180°-∠B =45°,再代入弧长公式求解即可.【解析】解:∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D =180°-∠B =45°,∴弧AC 所对圆心角的度数为:2×45°=90°, ∵⊙O 的半径为2, ∴弧AC 的长为:902180180n r l ππ⨯===π, 故选B .1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,以AC 为直径的⊙O ,与斜边AB 交于点D ,E 为BC 边的中点,连接DE .(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)填空:①若∠B=30°,AC=BD=②当∠B=时,以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解:(1)连接OD,∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∠CDB=90°,∵E是BC的中点,∴DE=CE=BE,∴∠DCE=∠EDC,∵OD=OC,∴∠OCD=∠ODC,∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°,即∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线;(2)3;45°,理由如下:①∵∠B=30°,AC=BCA=90°,∴BC= AC÷tan30°=6,∴DE=3,②由∠B=∠A=45°,OA=OD,得∠ADO=∠AOD=45°,∴∠AOD=90°,∴∠DOC=90°,又∠ODE=90°,∴四边形ODEC是矩形,∵OD=OC,∴四边形ODEC是正方形.2.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA∶AB=1∶2.(1)求∠CDB的度数;(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明.【答案】见解析.【解析】解:(1)如图,连接OC,∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°.∵DA:AB=1:2,∴DA=OC,DO=2OC.在Rt△DOC中,sin∠CDO=12,∴∠CDO=30°,即∠CDB=30°.(2)直线EB与⊙O相切.证明:连接OC,由(1)可知∠CDO=30°,∴∠COD=60°,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠CBD=∠CDB,∴CD=CB,∵CD是⊙O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠ECB=60°,又∵CD=CE,∴CB=CE,∴△CBE为等边三角形,∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°,∴EB是⊙O的切线.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D,E为BC边上一点,且DE是⊙O的切线.(1)求证:BE=EC;(2)填空:①若∠B=30°,AC DE=;②当∠B=°时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.【答案】(1)见解析;(2)①3;②45.【解析】解:(1)证明:如图,连接OD,∵∠ACB=90°,AC为⊙O的直径,∴EC为⊙O的切线,∵DE为⊙O的切线,∴EC=ED,∵∠EDO=90°,∴∠BDE+∠ADO=90°,∵OD=OA,∴∠ADO=∠A,∴∠BDE+∠A=90°,∵∠A+∠B=90°,∴∠BDE=∠B,∴BE=EC;(2)①3;②45,理由如下:①在Rt△ABC中,∠B=30°,AC,∴BC=6,由(1)知,E是BC中点,∴DE=12BC=3;②∵ODEC为正方形,∴∠DEC=90°,DE=CE=BE,∴∠B=45°,故答案为:3;45.4.如图,AB为⊙O的直径,C为半圆上一动点,过点C作⊙O的切线l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E,连接OC,CE,AE,AE交OC于点F.(1)求证:△CDE≌△EFC;(2)若AB=4,连接AC.①当AC= 时,四边形OBEC为菱形;②当AC= 时,四边形EDCF为正方形.【答案】见解析.【解析】(1)证明:如图,∵BD⊥CD,∴∠CDE=90°,∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∵CD是切线,∴∠FCD=90°,∴四边形CFED矩形,∴CF=DE,EF=CD,∵CE=CE,∴△CDE≌△EFC.(2)解:①当AC=2时,四边形OCEB是菱形.理由:连接OE.∵AC=OA=OC=2,∴△ACO是等边三角形,∴∠CAO=∠AOC=60°,∵∠AFO=90°,∴∠EAB=30°,∵∠AEB=90°,∴∠B=60°,∵OE=OB,∴△OEB是等边三角形,∴∠EOB=60°,∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°,∵CO=OE,∴△COE是等边三角形,∴CE=CO=OB=EB,∴四边形OCEB是菱形.故答案为2.②当四边形DEFC是正方形时,∵CF=FE,∴∠CEF=∠FCE=45°,∵OC⊥AE,∴弧AC=弧CE,∴∠CAE=∠CEA=45°,∴∠ACE=90°,∴AE是⊙O的直径,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC.∴AC时,四边形DEFC是正方形.故答案为.5.如图,AB是半圆O的直径,D为半圆上的一个动点(不与点A,B重合),连接AD,过点O作AD 的垂线,交半圆O的切线AC于点C,交半圆O于点E.连接BE,DE.(1)求证:∠BED=∠C.(2)连接BD,OD,CD.填空:①当∠ACO的度数为时,四边形OBDE为菱形;②当∠ACO的度数为时,四边形AODC为正方形.【答案】(1)见解析;(2)30;45.【解析】解:(1)证明:设AD,OC交于点P,∵OC⊥AD,∴∠APC=90°.∴∠C+∠CAP=90°∵AC是半圆O的切线,∴∠CAO=∠CAP+∠BAD=90°,∴∠BAD=∠C,∵∠BED=∠BAD,∴∠BED=∠C;(2)①30,理由如下:连接BD,如图:∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠DAB=∠ACO=30°,∴∠DBA=60°,∵OE⊥AD,∴弧AE=弧AD,∴∠DBE=∠ABE=30°∵∠DEB=∠DAB=30°,∴∠DEB=∠ABE,DE∥AB∵∠ADB=90°,即BD⊥AD,OE⊥AD,∴OE∥BD,∴四边形OBDE是平行四边形∵OB=OE∴四边形OBDE是菱形;故答案为30°;②45,理由如下:连接CD、OD,∵∠BED=∠ACO=45°,∴∠BOD=2∠BED=90°,∴∠AOD=90°,∵OC⊥AD,∴OC垂直平分AD,∴∠OCD=∠OCA=45°,∴∠ACD=90°,∵∠ACO=90°,∴四边形AODC 是矩形, ∵OA =OD ,∴四边形AODC 是正方形, 故答案为45°.6.如图,CD 是⊙O 的直径,且CD =2cm ,点P 为CD 的延长线上一点,过点P 作⊙O 的切线P A 、PB ,切点分别为A 、B .(1)连接AC ,若∠APO =30°,试证明△ACP 是等腰三角形; (2)填空:①当弧AB 的长为 cm 时,四边形AOBD 是菱形; ②当DP = cm 时,四边形AOBP 是正方形.【答案】(1)见解析;(2)23π1. 【解析】解:(1)连接AO ,∵P A 是⊙O 的切线, ∴∠P AO =90°, ∵∠APO =30°, ∴∠AOP =60°, ∵OA =OC ,∴∠C =∠CAO =30°, ∴∠C =∠APO =30°, ∴△ACP 是等腰三角形;(2)①若四边形AOBD 是菱形,则AO =AD ,∵AO=OD,∴△AOD是等边三角形,∠AOD=60°,∴∠AOB=120°,∵CD=2,∴圆O的半径为1,∴弧AB的长为:21201180π⨯=23π.②若四边形AOBP为正方形时,则P A=AO=1,则OP,∵OD=1,∴PD-1,-1.7.如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.(1)求证:AC∥DE;(2)连接CD,若OA=AE=2时,求出四边形ACDE的面积.【答案】见解析.【解析】证明:(1)∵F为弦AC(不是直径)的中点,∴AF=CF,OD⊥AC,∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE,∴AC∥DE.(2)连接CD,∵AC∥DE,OA=AE=2,∴OF=FD,∵AF=CF,∠AFO=∠CFD,∴△AFO≌△CFD,∴S△AFO=S△CFD,∴S四边形ACDE=S△ODE∵OD=OA=AE=2,∴OE=4,由勾股定理得:DE∴S四边形ACDE=S△ODE= 12×OD×OE=12×2×.8.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.(1)求证:∠DAC=∠DBA;(2)求证:P是线段AF的中点;(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求⊙O的半径和DE的长.【答案】见解析.【解析】(1)证明:∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA,∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA;(2)证明:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB于E,∴∠DEB=90°,∴∠ADE+∠BDE=∠DBE+∠BDE=90°,∴∠ADE=∠DBE=∠DAC,∴PD=P A,∵∠DF A+∠DAF=∠ADE+∠BDE=90°,∴∠PDF=∠PFD,∴PD=PF,∴P A=PF,即P是线段AF的中点;(3)解:∵∠CBD=∠DBA,CD=3,∴CD=AD=3,由勾股定理得:AB=5,即⊙O的半径为2.5,由DE×AB=AD×BD,即:5DE=3×4,∴DE=2.4.即DE的长为2.4.9.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若tan∠ACB=12,BC=4,求⊙O的半径.【答案】见解析.【解析】(1)直线CE与⊙O相切,证明:连接OE,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO,∵∠ACB=∠DCE,∴∠AEO=∠ACB=∠DCE,∵四边形ABCD是矩形,∴BC∥AD,∴∠ACB=∠DAC,∵∠ACB=∠DCE,∴∠DAC=∠DCE,由∠D=90°,得:∠DCE+∠DEC=90°,∴∠AEO+∠DEC=90°,∴∠OEC=90°,即OE⊥EC,∵OE为半径,∴直线CE与⊙O相切;(2)解:在Rt△ACB中,AB=tan∠ACB×BC=12×4=2,由勾股定理得:AC=,∵∠ACB=∠DCE,∴tan∠DCE=tan∠ACB=12,在Rt△DCE中,CD=AB=2,DE=DC×tan∠DCE=2×12=1,由勾股定理得:CE,在Rt△COE中,CO2=CE2+OE2,OE=OA,(OA)2=OA2+)2,解得:OA,即⊙O.10.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是⊙C的切线,切点为点D,直线AC交⊙C于点E、F,且CF=12AC,(1)求证:△ABF是直角三角形;(2)若AC=6,则直接回答BF的长是多少.【答案】见解析.【解析】(1)证明:连接CD,则CF=CD,∵AB是⊙C的切线.∴CD⊥AB,∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△ACD中,CF=12 AC,∴CD=CF=12AC,∴∠A=30°∵AC=BC,∴∠ABC=∠A=30°,∴∠ACB=120°,∠BCD=∠BCF=60°,∵BC=BC,∴△BCD≌△BCF,∴∠BFC=∠BDC=90°,∴△ABF是直角三角形.(2)解:由(1)知:AC=BC,CD⊥AB,∴AD=BD=BF,在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=6,∴CD=3,∴AD=.∴BF=金榜题名前程似锦21。

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