复变函数与积分变换第一章 练习题1． 计算(1)(2)i i i --；解：（1）103)31)(31()31(3123)2)(1(2i i i i i ii i i i i i i +-=+-+=-=+-=--；（2）10310)2)(1()2)(2(1)1)(1()2)(1()2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-=---=----------=--。
2． 解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩；解：消元法，)2()1(+⨯i 得：i z i 33)31(1-=+，解得：563)31)(31()31)(33(31331i i i i i ii z --=-+--=+-=，代入)1(得：517656322ii i z --=---⨯=。
3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值；解：]arg arctan arctan,arctan arg ππππ，（，，三，二一，四-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=z x y x y xy z ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--)43s i n ()43c o s (21ππi i ；[])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-=+-ππi i 。
4．用复数的三角表示计算312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(23133-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ππππi i i ； 3,2,1,0,4243s i n 4243c o s 2)43s i n43(c o s 228341=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k i k i ππππππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=163sin 163cos 2830ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1611sin 1611cos 2831ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1619sin 1619cos 2832ππi z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1627sin 1627cos 2833ππi z 。
5．解方程310z +=； ππs i n c o s 13i z +=-=，()2,1,0,32sin32cossin cos 31=+++=+=k k i k i z ππππππ，,23210i z +=,11-=z i z 23212-=。
6．用复数形式的参数方程表示连接1i +与14i --的直线段； 解：10,z z ：10,)(010≤≤-+=t t z z z z ， 10,)52(1≤≤--++=t t i i z 。
7．证明：2221212122Re()z z z z z z -=+-。
证明：z z z =2， 2121222121212121221))(()()(z z z z z z z z z z z z z z z z --+=--=--=-，)R e (221222121212221z z z z z z z z z z -+=--+=。
第二章 解析函数1．(34)Ln i -+=（ ），主值为（ ）； 解： ,2,1,0),2(arg ln ln ±±=++=+=k k z i z iArgz z Lnz π， ,2,1,0),234arctan(5ln )43(±±=+-+=+-k k i i Ln ππ，)34a r c t a n (5ln )43ln(-+=+-πi i 。
2．当a =（ ）时，22()ln()arctany f z a x y i x=++在区域0x >内解析；解：C-R 方程xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，xyv y x a u a r c t a n ),ln(22=+=，222222111,2yx x xxy yv yx x axu +=⋅+=∂∂+=∂∂，得到21=a 。
3．函数()2arg(3)f z z =-在复平面除去实轴上一区间（ ]3,(-∞ ）外是解析的； 4．函数Im R e w z z z =-在其可导处的导数为（ ）； 解：2)(,iy x xy x y iy x w iy x z +-=-+=+=，2,y v x xy u =-=，C-R 方程：y yv xv x yu y xu 2,0,,1=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂，可导点i z -=， 2)(-=∂∂+∂∂=-'-=-=iz iz xv ixu i f 。
5．计算3i e π+、(23)Ln i -+、、1i 的值；3333)s i n (c o s e i e e e e i i -=+=⋅=+ππππ；,2,1,0),223arctan(13ln)32(±±=+-+=+-k k i i Ln ππ，,2,1,0,122)21(ln 2122±±====+k ee eik k i Ln ππ，,2,1,0,12)21(ln 1±±====-+k eee k k i i iLn iππ。
6．问函数23()2f z x y i =+在何处可导？何处解析？并求(3)f i '+，(32)f i '+；解：C-R 方程 322,y v x u ==，26,0,0,2y yv xv yu x xu =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂，23y x =⇒处可导，(3)f i '+6=，(32)f i '+不存在，处处不解析。
7．1212ln()ln ln z z z z =+是否正确？若不正确，举例说明； 错误， 1212ln()ln ln z z z z =+，2121arg arg )arg(z z z z +=，2121)(L n z L n z z z Ln +=，2121)(Argz Argz z z Arg +=， L n z L n z L n z L n z 22≠+=，0≠-=Lnz Lnz zz Ln，Lnz nz Ln n1≠。
8．已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u iv =+，并单独用z 的形式表示；解：C-R 方程：2233,6x y xv yu xy yv xu -=∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂， ),(3)1(2y y x u ϕ+-=⇒22233)(3x y y x yu -='+-=∂∂⇒ϕ，得到：c y y y y +=='32)(,3)(ϕϕ,332c y y x u ++-=⇒()()c iz x xy i c y y x z f +=+-+++-=⇒3323233)(。
9．如果函数()f z u iv =+在区域D 内解析，并且满足条件892003u v +=，试证()f z 在D 必为常数。
解：方程892003u v +=两边对y x ,求偏导数得：098=∂∂+∂∂xv xu ，098=∂∂+∂∂yv yu ，C-R 方程：x v y u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，解得：0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂xvy u y v x u ，()f z 在D 必为常数。
第三章 复变函数的积分1．2||122z dz z z ==++⎰（ 0 ）；2|1c o s ()z zdz z π==-⎰（ 0 ）； 2、计算积分2(2)Ciz dz +⎰，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段；解：(1,0)A ，(0,1)B 的直线段的复数形式的参数方程为：10,)1(1≤≤-+=t t i z2(2)Ciz dz +⎰dt i t i i )1()])1(1(2[21--++=⎰3．计算积分（1）22zCedz z z+⎰，:||2C z =；（2）2|2|1cos z i z dzz-=⎰；解：（1）:||2C z =内有奇点1,021-==z z ，22zCedz z z+⎰⎰⎰+++=212222C zC zdz zz edz zz e⎰⎰+++=211122C zC zdz z z edz zz e1202212-==++=z zz zzeiz eiππ)1(22--=e i π；（2）12=-i z 内没有奇点2|2|1cos z i z dz z-=⎰0=4．计算(21)(2)Czdz I z z =+-⎰，其中C 是(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; （3）1|1|2z -=； （4）||3z =解：（1）(21)(2)Czdz I z z =+-⎰5222121221211i z zi dz z z zz z ππ=-⋅⋅=+-=-==⎰；（2）(21)(2)Czdz I z z =+-⎰54122212212i z zi dz z z zz z ππ=+⋅=-+===-⎰；（3）)(z f 在1|1|2z -=内处处解析，故(21)(2)Czdz I z z =+-⎰0=；（4）(21)(2)Czdz I z z =+-⎰i i i dz z z zdz z z zz z πππ=+=-++-+=⎰⎰=-=545)2)(12()2)(12(121。
5、计算积分3(1)zCedz z z -⎰ ，其中C 是不经过0与1的简单光滑闭曲线．解：（1）3(1)zCedz z z -⎰;0=（2）3(1)zCedz z z -⎰;2)1(2)1(0332i z eidz zz ez zC zππ=-=-==⎰（3）3(1)zCedz z z -⎰;!22)1(2133i e ze i dz z z ez zC zππ-="⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--==⎰（4）3(1)zCedz z z -⎰ i e dz z z edz zz eC zC zπ)2()1()1(23332-=-+-=⎰⎰。
第四章 解析函数的级数表示1．311z+的幂级数展开式为（∑∞=-03)(n nz），收敛域为（ 1<z ）； 2．函数21()(1)f z z =+展开成z 的幂级数，有()f z =（ ）；21()(1)f z z =+∑∑∞=-∞=--='⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=110)1()(11n n n n n nzz z 3． 下列幂级数的收敛半径（1）21n n z n∞=∑；（2）0!nn zn ∞=∑；（3）0!n n n z ∞=∑；解：（1）212)1(1,1+==+n u n u n n ，1lim1=+∞→nn n u u ，收敛半径为1；（2）)!1(1,!11+==+n u n u n n ，011limlim1=+=∞→+∞→n u u n nn n ，收敛半径为∞+；（3）)!1(,!1+==+n u n u n n ，+∞=+=∞→+∞→)1(lim lim 1n u u n nn n ，收敛半径为0。