h(t ) 1 cos( nt ),
3. 当
0
s1
n
0
s2
t 0
j
0 1 时，则特征方程
s1
n 1 2
有一对具有负实部的共轭复根， 对应于s平面左半部的共轭复数 极点，对应的阶跃响应为衰减振 荡过程，此时，系统处于欠阻尼 情况。
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2
t T
)
跟踪误差随时间推移而增大，直至无穷大。因此， 一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
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六. 四种典型输入信号响应的对比
输入信号 输出信号
1(t )
1 e
t T
, t0
t0
(t )
t
1 2 t 2
1 t T e , T
5. 线性系统的稳态误差分析
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时域分析的定义
时域分析法是一种直接在时间域中 对系统进行分析的方法，具有直观、准 确的优点，并且可以提供系统时间响应 的全部信息。
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3.1 系统时间响应的性能指标
一. 控制系统性能的评价指标
1. 动态性能 2. 稳态性能
二. 典型输入信号
所谓的典型输入信号是指根据系统常遇到的输 入信号形式，在数学上加以理想化的一些基本输入 函数。
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典型输入函数
名称
单位阶跃函数 单位斜坡 （速度）函数 单位加速度 （抛物线）函数
时域表达式
复域表达式
1(t ), t 0
1 S
1 S2
1 S3
t, t 0
1 2 ( )t , t 0 2 (t ), t 0
单位脉冲函数
正弦函数
1
A S2 2
A sin t
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三. 典型输入信号的选取
•取决于系统常见的工作状态。
一. 二阶系统的数学模型
R L
U1
i
C
U2
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得系统的运动方程为：
d 2u 2 du LC 2 RC 2 u2 u1 dt dt
得系统的传递函数为：
U 2 (S ) 1 ( S ) U1 ( S ) LCS 2 RCS 1
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三. 一阶系统的单位脉冲响应
当输出信号为理想单位脉冲函数时，由于R(S)=1， 所以系统输出的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即 ：
1 C (S ) TS 1
系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：
1 t T c(t ) L[C ( S )] e , T
c(t ) (t T ) Te t T , t 0
1 2 c(t ) t Tt T 2 (1 e t T ), t 0 2 China Agriculture University-East
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：
凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统， 称为二阶系统。
令： 1 T
1
n ( 1)
2
, T2
1
n ( 2 1)
得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：
e t T e t T h(t ) 1 , (T2 T1 ) 1 (T2 T1 ) 1
dh(t ) 2 n te nt dt 当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响 应过程的变化率为正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ响应过程单调上升；当 t 时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1 。
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（三）. 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
) arccos
t0
arctg(
1 2

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（二）. 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e
n t
(1 n t ),
t0
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的 无超调单调上升过程，其变化率为：
s1
s2
0
（一）. 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
n , d n 1 2
则有： s1, 2 j d
式中， 称为衰减系数， d 叫做阻尼振荡频率。
得单位阶跃响应为：
h(t ) 1
1 1
2
e nt sin( d t ),
n
0 n 1 2
s2
4.当 =1时，则特征方程具
有两个相等的负实根，对应 于s 平面负实轴上的两个相 等极点，响应的阶跃响应是 非周期地趋于稳态输出，此 时，系统处于临界阻尼情况
j
s1 s 2
n
0
h(t ) 1 e nt (1 nt ),
t0
j
5.当 1 时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于 s 平面上的两个不 相等的实极点，响应的单 位阶跃响应也是非周期地 趋于稳态输出，但响应速 度比临界阻尼情况缓慢， China Agriculture 因此，称为过阻尼情况。 University-East
自动控制原理
Automatic Control Theory
主 编： 胡寿松
授课教师： 赵燕东 教授
2 0 1 2 年 9月 20日
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第三章 线性系统的时域分析法
1. 系统时间响应的性能指标 2. 一阶系统的时域分析
3. 二阶系统的时域分析 4. 线性系统的稳定性分析
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为了研究具有普遍性，将上式表示为标准形式：
2 n C (S ) ( S ) 2 2 R( S ) S 2 n S n
（3-3）
R(S)
-
E(S)
-
n2 s ( s 2 n )
C(S)
其中： n ——自然频率（或无阻尼振荡频率）
• 一阶系统的定义
凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统， 称为一阶系统。
一. 一阶系统的数学模型
R
r (t )
i(t )
C
c(t )
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系统的传递函数：
C (S ) 1 1 ( S ) R( S ) RCS 1 TS 1
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五. 一阶系统的单位加速度响应
• 设系统的输入信号为单位加速度函数，则由式（3-2） 可以求得一阶系统的单位加速度为：
1 2 c(t ) t Tt T 2 (1 e t T ), 2
系统的跟踪误差为：
t0
e(t ) r (t ) c(t ) Tt T (1 e
R(S)
-
(3-2)
1 R
1 CS
C(S)
令T=RC，且定义T为时间常数，则 T反映系统惯 性的量，一阶系统的惯性越小，其响应速度越小。
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二. 一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)，则 由式（3-2）可得一阶系统的单位阶跃响应为：
1 2
1 0, t 0
其中： arctg(

)
由于阻尼比为负，指数因子具有正幂指数，因 此，系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形 式，从而表明的二阶系统是不稳定的。
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j
2. 当
时，二阶系统的特征 方程有一对纯虚根，对应于S平面 虚轴上一对共轭极点，系统的阶 跃响应为等幅振荡，此时，统处 于无阻尼情况。
2. 稳态过程又称为稳态响应，指系统在典型输入信 号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的
表现方式。
五. 动态性能和稳态性能
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h(t)
动态性能 指标描述的是 稳定系统在单 位阶跃函数作 用下，动态过 程随时间t的变 化状况指标。
超调量
•取决于最不利的信号作为系统的典型输入信号 •同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是
不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统 性能是一致的。
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四. 动态过程与稳态过程
1. 动态过程又称为过渡过程或瞬时过程，指系统在
典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到 最终状态的响应过程。
t s 3T
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例1. 设系统的初始条件为零，其微分方程如下：
0.2c(t ) 2r (t )
求系统的脉冲函数 g (t ) 及单位阶跃响应、超调量
%、峰值时间 t p 、调节时间 t s 。
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