《高等数学》
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一、判断（每小题 2 分，共 20 分）
1. f(x)在点x 0处有定义是f(x)在点x 0处连续的必要条件. ( )
2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( )
3. y=f(x)在x 0处可导,则y=|f(x)|在x 0处也可导. ( )
4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )
5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x) 的驻点. ( )
6. 对任意常数k,有⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )(. ( )
7. 若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界. ( )
8. 若f(x,y)在区域D 上连续且区域D 关于y 轴对称,则当f(x,y) 为关于x 的奇函数时,⎰⎰D
dxdy y x f ),(=0. ( )
9. )(y '2=-2x -e x 的通解中含有两个独立任意常数. ( )
10. 若z=f(x,y)在P o 的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P 0连续. ( )
二、填空（每空 2 分，共20 分）
1.∞
→x lim [xsin
x
1+
x
1sinx+(
x
x +2)x ]= .
2. 函数f(x)=x x -3在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值ξ= .
3. 设f(x)=⎩⎨
⎧≥+<0
0x x
a x e x
当a= 时,f(x)在x=0处连续.
4. 设z=e
y
x 22
+ ,则dz | (0,0)= .
5. 函数f(x)=e x
-x -1在 内单调增加;在 内单调减少.
6. 函数32y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值.
7.
dx
d ⎰
b a
x 2
sin dx = 其中a,b 为常数.
8. f '(x)=1且(0)0f =,则⎰dx x f )(= . 9.若I=⎰⎰
1
02
),(x x
y x f dx dxdy 交换积分次序后得 .
三、计算（每小题 5 分,共 40 分）
1. 求0
lim →x (
2
1x
-
xtgx
1) ； 2.
dt t
t x
e ⎰
1
ln +dt t y
)3(cos 1
⎰+=2,求dy ；
3. 求dx x x ⎰
+)
1(1； 4. 求dx x ⎰--1
4
3
1
11 ； 5. 求dx xe
x
⎰
∞+-0
2；
6. 设z=ln(x 2
+y 2
) 求
x
z ∂∂,
y
x z ∂∂∂2
；
7. 计算 I=⎰⎰D
xdxdy .其中D 是由圆x 2+y 2=4围成的区域；
8. 求微分方程-ydx+(x+y 3)dy=0的通解.
四、应用题(每题7分,共14分)
1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
2. 求由y=
x
1,x=1,x=2与x 轴所围成的图形的面积及该图绕x 轴旋转一周的旋转体的体积.
五、证明(本题6分)
证明:当x >0时,不等式1+
x x +>
121成立.
高等数学参考答案
一、判断正误（每题2分，共20分）
1 √ ；
2 √ ；
3 ╳ ；
4 ╳ ；
5 √ ； 6╳ ； 7 √ ； 8 √ ； 9 ╳ ； 10 ╳.
二、填空题（每题4分，共20分）
1. 21e +；
2. 2 ；
3. 1 ；
4. 2dx ；
5.[0)∞，+，,0]∞（- ；
6. 2
30b ac -<；
7.0； 8.
2
12
x c + ；
9. 10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰
.
三、计算题与证明题（共计60分）
1. 2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=20tan lim tan x x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭=3
0tan lim x x x x →-⎛⎫
⎪⎝⎭
=20sec 1lim 3x x x →-⎛⎫
= ⎪⎝⎭202sec tan 1lim 63
x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2. 方程两边同时对x 求导得：
则
ln (cos 3)0x
x
x e e y y e
'++=
(cos 3)0x y ++=
cos 3
x y y '=-
+
cos 3
x dy dx y =-
+
3. ⎰
=
2
1d
x +⎰
=1
2⎰
=2arctan c
4、 令
2
12t x t
dx tdt ==-=-
当 34
x =
时12
t =；当1x =时0t =
原式=
112
21
t dt t --⎰
=11
220
12211
1
t dt dt t t =+
--⎰
⎰
=1
20
2[ln 112ln 2t t +-=-
5.⎰
⎰
∞
+-∞
+-'-
=
20
2)2
1(dx e
x dx xe
x
x
⎰
∞
+-+∞
--
-
-
=0
20
2)2
1()
2
1(dx e
e
x x
x
4
14
10
2=
-
=+∞
-x
e
6.
2
22
2
2
2
2)(1y
x x
y x y
x x z +=
'++=
∂∂
2
2
2
2
2
2
2
)
(42)
(2y x xy y y x x y
x z +-
=+-
=∂∂∂
7.令 ⎩
⎨⎧==θθ
sin cos r y r x ，
⎰
⎰⋅=
π
θθ20
2
cos rdr r d I
0]3
1[][sin cos 2032020
2
2=⋅==
⎰
⎰
r dr r d π
π
θθ
θ
8.解：
2
1y x y
dy
dx =-
)(1
2
1
c dy e
y e
x dy
y dy y +⎰⎰⎰=-
)21(2
c y y +=
∴ 原方程的通解为：)2
1(2
c y y x +=
四、（每题7分，共14分）
1.解：设长方形的长和宽分别为x 和y ，面积为s ，则202=+y x 即 y x 220-= 2
220y y xy s -== )0(>y
0420=-='y s ，得5=y
04<-=''s
∴当长10=x M ；宽5=y M 时，面积最大。

五、（本题6分）
令x x x f +-
+
=12
11)( 01212
1)(>+-
=
'x
x f
∴
0)0()(=>f x f 即x x +>
+1211。