“一线三等角”构相似经典题型分类训练(时间:90分钟 满分:100分)班级 姓名 成绩 .类型一 普通角1. (2分)如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a °,点P 在线段AB 上,AP= 时,∠CPD=a °．2. (2分)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,D 是边BC 上一动点（不与点B,C 重合）,∠ADE=∠B=α,DE 交AC 于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE 长的最大值为；③当AD=DC 时,BD 的长为439.其中,正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.①③D.①②③3. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点D 为BC 上一点，BD=2．过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B ．（1）求证:AD AB ＝DEDC ； （2）求线段EC 的长度．4. (8分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是AB 上一点，BD=2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF=∠B ，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；5. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合）连结AD ，作∠ADE=∠B ，DE 交线段AC 于E ．求证: (1)AD 2=AE ·AC (2) AB·EC=BD·CD6. (8分) 如图①，在△ABC 中，AC=BC ，点D 是线段AB 上一动点,∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF ，射线DE 与边AC 交于点M ，射线DE 与边BC 交于点N ，连接MN ．（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图②，在上述条件下，当点D 运动到AB 的中点时，求证：在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值．类型二 45°或60°角7. (2分)如图,在Rt△ABC 中，已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过D 作∠ADE=45°,DE 交AC 于E ，若,CE=1,则BD= .第7题图 第8题图 第9题图8. (2分)如图,等边三角形ABC 中，D 、E 分别在BC 、AB 上,且∠ADE=60°,CD=2cm,BE=56cm,则AB= . 9. (2分)如图,△ABC 是等边三角形,点D 在边BC 上（点D 不与点B 、C 重合）,连结AD ,以AD 为边作∠ADE =∠ABC ,DE 交边AC 于点E,若AB =2,则EC 的最大值是 .10. (6分)已知:如图,△ABC 是等边三角形,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,∠ADE=60°.AB=3,EC=32,求DC 的长11. (6分)如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=∠C=60°,AB=3,BC=7,P 为BC 边上的一点（不与B 、C 重合）,过点P 作∠APE=60°,PE 交CD 于点E ．若CE=3,求PE 的长．类型三 90°角12. (2分)矩形ABCD 中,点E ，F 分别在AD 、CD 上，且BE ⊥FE ，则图中的三角形①，②，③，④一定相似的是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．①②和③第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图13. (2分)如图,已知一次函数y=-21x+1的图象与两坐标轴分别交于A 、B,点C 在x 轴上,AC=4,第一象限内有一个点P,且PC ⊥x 轴于点C,若以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△OAB 相似,则点P 的坐标为（ ）A ．（4,8）B ．（4,8）或（4,2）C ．（6,8）D ．（6,8）或（6,2）14. (2分)如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是CD 上一点,且CF=3FD.则图中相似三角形的对数是( )15. (2分)如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P 在线段AB 上,当AP 为多少时，△PAD 与△PBC 相似（ ） A.514 D.514或1或6 16. (2分)如图,点E 在线段AB 上,CA ⊥AB 于点A,DB ⊥AB 于点B,AC=1,AB=5,EB=2,点P 是射线BD 上的一个动点,则当BP= 时,△CEA 与△EPB 相似.17. (6分)如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 上一点,AE ⊥ED,若AE=4,CE=3BE.求这个四边形的面积．18. (10分)如图，在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,点E 为BC 的中点,AE ⊥DE ．（1）求证:△ABE ∽△ECD ；（2）求证：AE 2=AB •AD ；（3）若AB=1，CD=4，求线段AD ，DE 的长．19. (10分)如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 的中点,EF ⊥EC 交AB 于F,连接FC （AB ＞AE ）．（1）求证：△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF 与△EFC 是否相似若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由；（3）设BCAB =k,若△AEF ∽△BCF ，则k= （请直接写出结果）．20. (10分)四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，连结DE ，CE ．（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形ABCD 为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE 的长．（3）若∠A=∠B=90°，AD ＜BC ，图中的三个三角形都相似，请判断AE 和BE 的数量关系并说明理由．参考答案或33.（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADC 是△ABD 的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC ，又∵∠B=∠ADE ，∴∠BAD=∠EDC ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AD AB ＝DEDC ；（2）∵△ABD ∽△DCE ，∴CD AB =CEBD ， ∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴48=CE 2，解得EC=1． 4.（1）∵AB=AC=6，∴∠B=∠C ，∵∠BDE=180°-∠B-∠BED ，∠CEF=180°-∠DEF-∠BED ，∵∠DEF=∠B ，∴∠BDE=∠CEF ，∴△DBE ∽△ECF ；（2）∵△DBE ∽△ECF ，∴CE BD ＝CFBE ， ∵F 是线段AC 中点，∴CF=21AC=3 ∴BE -52＝3BE ，∴BE=2或3； 5.(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，又∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C ，∵∠DAE=∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ； ∴AC AD =ADAE ,∴AD 2=AE ·AC. (2)∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADC=∠BAD+∠B ，∠ADC=∠ADE+∠EDC∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC ，又∵∠B=∠C,∴△ABD ∽△DCE ． ∴CD AB =ECBD ,∴AB·EC=BD·CD. 6.（1）△ADM ∽△BND ，理由如下：∵AC=BC ，∴∠A=∠B ，∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN ，∠A=∠EDF ，∴∠AMD=∠BDN ，∴△ADM ∽△BND ；（2）证明：作DG ⊥MN 于G ，DH ⊥AM 于H ，如图②，由（1）得，△ADM ∽△BND ，∴△ADM ∽△DNM ，∴∠AMD=∠NMD ，又DG ⊥MN ，DH ⊥AM ，∴DG=DH ，即在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值． 7.29.21 10.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC ，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE ，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD ∽△DCE,∴AB BD =DC CE . 设CD=x,则BD=3-x,∴33x -=x32,∴x=1或x=2,∴DC=1或DC=2．11.∵∠APE+∠EPC=∠BAP+∠B,∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC而∠C=∠B,∴△APB ∽△PEC ，∴EC BP =PC AB ， 设BP=x,则PC=7-x ，∴3x =x74,解得：x 1=3，x 2=4， 当BP=4时，△CEP 为等边三角形，∴PE=CP=3，当BP=3时，PE=13，∴PE 的长度为3或13．16. 6或32,面积为.18.（1）证明：∵AE ⊥DE ，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED ，又∵∠ABC=∠BCD ，∴△ABE ∽△ECD ；19.（1）∵EF ⊥EC ，∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE ，∵∠A=∠D=90°，∴△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF ∽△ECF ．证明如下：延长FE 与CD 的延长线交于G ，∵E 为AD 的中点，AE=DE ，∠AEF=∠GED ，∴Rt △AEF ≌Rt △DEG ．∴EF=EG ．∵CE=CE ，∠FEC=∠CEG=90°，∴Rt △EFC ≌Rt △EGC ．∴∠AFE=∠EGC=∠EFC ．又∵∠A=∠FEC=90°，∴Rt △AEF ∽Rt △ECF ；(3) 23点拨:要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当∠AFE=∠FCB 时，那么∠AFE 就和∠BFC 互余，因此∠EFC 就是直角，而∠FEC 也是直角因此这种情况是不成立的．当∠AEF=∠FCB 时，AE ：BC=AF ：BF ，那么由于E 是AD 中点，因此BC=2AE ，所以我们可得出BF=2AF ，即AB=3AF ，又根据（1）中AF=GD ，AB=CD ，我们可在△CEG 中根据△EGD 和△EDC 相似，得出关于GD 、ED 、DC 的比例关系，也就是AF 、AB 、AE 的比例关系，有了AB=3AF ，就能求出ED 与AF 的比例关系，也就求出了BC 与AF 的比例关系，以AF 为中间值即可得出AB 与BC 的比例关系，也就求出了k 的值．20.（1）△DAE ∽△EBC ，理由是：∵∠A=∠DEC=50°，∴∠ADE+∠DEA=180°-∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°-∠DEC=130°，∴∠ADE=∠CEB ，∵∠A=∠B ，∴△DAE ∽△EBC ；（2）设AE=x ，则BE=5-x ，∵∠ADE ＜90°，∠ECB ＜90°，∴∠DEC=90°，∴△DAE ∽△EBC ，解得：x=1或4，即AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由是：①当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，所以△DEC∽△DAE∽△EBC，②当∠DEC≠90°时，∵△ADE∽△BCE，∠DEA=∠CEB，。