相似三角形（3）“一线三等角型”
教学目标：
1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.
2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程
与函数等数学思想.
3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.
重点：
相似三角形的判定性质及其应用.
难点：
与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.
教学方法：
启发式教学方法，尝试指导教学法.
一、知识梳理：
（图1） （图2）
（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___
（2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___
二、【例题解析】
【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，
AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=3
1,求CF 的长
【练】1、已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有
一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF 的长
2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°
（1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD =23，FC =1时，求BE
【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5
2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ
【练】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边
上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F.
(1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =
(2)、当m DB
AD =，求DF DE 的值
【例3】已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B,
求证：△BDE ∽△DFE.
【练】在边长为4的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF .
(1)已知BE=1,DF=2.求DE 的值
(2)求∠BED=∠DEF
【例4】 如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ，
（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
【练】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在
AC 边上，且C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；
(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
【例5】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足过点D 作DG ⊥EF 于点G ，∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC
②求AP 的长．
【练】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．
（1）求证：△MEF ∽△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；
（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．
【家庭作业】 1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，4
3=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边
上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.
2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动
点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．
（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；
（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直
线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么
①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，
并写出函数的定义域；
②当BEP DMF S S ∆∆=4
9时，求BP 的长。