(2) 由指数分布的“无记忆性”
P (T 1T 8 8 ) P (T 8 1T 0 8 )
P(T1)0e10
Ch2-72
(3) 正态分布
若X 的 d.f. 为
f(x) 1 e(x2 2)2
2
x
亦称高斯
,为常数，0 (Gauss)分布
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布
记作 X ~ N ( , 2 )
20001000 1500 x2 d x
4 1 240.4706. 51 6 51
Ch2-57
(3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时
P (A )P (0X 15 )0 1105000 100x02 0dx013
设在使用的最初1500小时三个电子管中
损坏的个数为
Y~
B
3,
1 3
3 3
3 3
231 2 0 .99 1 8 0.7 9974
一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )
的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小
由3 原理知，
当 a 3 时 ( a ) 0 ,b 3 时 ( b ) 1
Ch2-88
N (-3 , 1.2 )
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
Ch2-73
Ch2-74
f (x) 的性质：
图形关于直线 x = 对称, 即
f ( + x) = f ( - x)
1
在 x = 时, f (x) 取得最大值 2
在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数
F(x) 1 e dt x (t22)2
2
作变量代换
s
t
F(x)x
P(aXb)F(b)F(a)
b a
P(X a) 1F(a)
1a
Ch2-84
例5 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解 P (0 X 1 .6 ) 1 .6 2 1 0 2 1
0 .3 0 .5
P380 附表3 0 .3 [ 1 0 .5 ]
0 .61 [1 7 0 9 .69 ] 1
0.3094
Ch2-85
例6 已知X~N(2,2)且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一
P(X0)02
12
P (2X 4 ) 4 2 2 2
2(0) 0.3
2
0.8
P (X0)0.2
Ch2-86
解二 图解法
0. 2 0. 15
0. 1 0. 05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图
P (X0 )0 .2
例 3 原理
Ch2-87
设 X ~ N ( , 2), 求 P (X | | 3 )
解 P ( X || 3 ) P ( 3 X 3 )
-6
几何意义 数据意义
-5 -4 -3 -2 -1
大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比
Ch2-78
正态变量的条件 若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
则称 X 为正态 r.v.
Ch2-79
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
一种重要的正态分布
—— 标准正态分布N (0,1)
密度函数
(x)
1
x2
e2
2
是偶函数，分布函数记为
x
(x) 1
x t2
e 2dt
x
2
其值有专门的表供查.
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2 则
11
21 22
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点 比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=
Show[fn1,fn3]
小
Ch2-77
0. 5 0. 4
大 0. 3 0. 2 0. 1
1 1 P P (X (X s s)t) 1 1 F F (s ( s)t) e e ( ss t) e t P (X t)
故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 Ch2-70
发生故障的次数 N( t ) ~ (t), 求
(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布;
a 0, cb2/4a0, 4a cb242.
可省略
Ch2-60
作业 P83 习题二 16 18
Ch2-61
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若 X 的 d.f. 为 f(x)b1a, axb 0, 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作
解
(1)
令
c
f(x)dx100x02dx1
Ch2-56
c = 1000
(2) P(X171 05 0 0X020)00
P (X 17 ,105 0X 00 20 )P0 (10 500X20)00
P(15 0X 017)0P 0(1500X20)00
17001000 1500 x2 d x
解
P (X || 1) 0 11 7 0 .5 0 1 1 7 0 .0 5
0 .2 5 1 .7 5
0 .2 [ 1 5 1 .7 ]5
0.5586
Ch2-90
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米
P(Y1)P3(1)C3 11 33 229 4
例2 设 f(x)(a2xb xc)1 Ch2-58 为使 f (x) 成为某 r.v. X 在 (,)上的
d.f.系数 a, b , c 必须且只需满足何条件？
解 由 f(x ) 0 h (x ) a2 x b c x 0
h ( x ) 2 a b x ,h ( x ) 2 a
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从 U1210k,1210k 的 r.v. 随机变量
Ch2-65
例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产 生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对 值不超过0.004秒的概率.
0 P (X a ) lx i0a m xf(x )d x0
P (Xa)0
命题 连续r.v.取任一常数的概率为零
强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)
Ch2-53
对于连续型 r.v. X
P(aXb) P (aX b )
P (aX b )
f ( x)
P (aX b )
标准正态分布的上 分位数 z 设 X ~ N (0,1) , 0 < < 1, 称满足
P (Xz)
的点 z 为X 的上 分位数
0.4
0.3
0.2
0.1
-3 -2 -1
1 2z 3
常用 数据
z0.051.645 z0.0251.96
Ch2-89
例7 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ?
其他
则称 X 服从 参数为 的指数分布
记作 X~E()
X 的分布函数为
F(x)10e,x,
x0 x0
f ( x)
0 F( x) 1
0
Ch2-67
x x
Ch2-68
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) bexdx a
F(b)F(a)
ea eb 应用场合 用指数分布描述的实例有：
x 0
x
f(x 0 ) x P (x 0 X x 0 x )
密度长度
线段质量
Ch2-52
注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
事实上 (Xa) (a x X a ) x0
0 P ( X a ) P ( a x X a ) aax f(x)dx a
b
0. 08 0. 06
a f (x)dx
0. 04
F(b)F(a)
0. 02
-1 0
-5
a
5
b
x
Ch2-54
P ( X b ) P ( X b ) F ( b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F ( a )
f ( x)
0. 08 0. 06 0. 04 0. 02
积分
x
Ch2-51
F (x ) f(t)d t x
不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下
的积分，所得的变上限的函数是绝对连续
的，因此几乎处处可导
F (x 0 ) lx i 0F m (x 0x x ) F (x 0 )
lim P (x0Xx0x) f(x0)
X~U(a,b)
Ch2-62