0 . 3 [1 0 . 5 ]
P352 表2
0 . 6179 [1 0 . 6915 ]
0 . 3094
例5已知
X ~ N (2, )
2
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
2
求 P ( X < 0 ). 解1:
0 2 P ( X 0) 1
P (a X b) P (a X b)
P (a X b)
P (a X b)
f (x)

0.08 0.06

b
f ( x )d x F (b ) F ( a )
a
0.04
0.02
-10
a
-5
b
5
x
P ( X b ) P ( X b ) F (b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F (a )
0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P (| X | a ) 2 ( a ) 1
对一般的正态分布 ：X ～N ( , 2)
其分布函数
作变量代换
F (x)
s t
1 2

x

(t ) 2
2
2
e
dt

x F (x)
P ( a X b ) F (b ) F ( a ) b P ( X a ) 1 F (a )
则 P B P 10 X 20
0.2
2 4 6
-2
由图
P ( X 0 ) 0 .2
标准正态分布的上 分位数z
设 X ~ N ( 0 , 1 ), 若 z 满足条件
P X z ,0 1 ,
则称点 z 为标准正态分布的上
分位点。
查表可知 z 0.05
注：
=1.645
z 0 . 005 =2.575
1 , f ( x) b a 0,
(a ,b)上的均匀分布 记作 X ~ U ( a , b ) 其中
a xb 其他
X 的分布函数为
0, x a F (x) , b a 1
x a, a x b, xb
(c, d ) (a , b )
P (c X d )

d
1 ba
d x
d c ba
c
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 应用场合: 在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位 进行四舍五入，则产生的误差可以看作 服从
教科书上都附有标准正
态分布表 ,由此可得 ( x ) 值 .
( 0 ) 0 .5
( x ) 1 ( x ) P (| X | a ) 2 ( a ) 1
( 0 ) 0 .5
(x)
(x)
( x) 1 ( x)
0.4
0.3
0.2
例6
设打一次电话所用的时 为参数的指数随机变量 用电话间，求你需等待
解： X 的密度函数为
间 X （单位：分钟）是以 ．如果某人刚好在你前
1 x e 10 f x 10 0

1 10
面走进公
10 分钟到 20 分钟之间的概率．
x 0 x 0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
4 2 P (2 X 4)
2
2 2
( 0 ) 0 .3
2 0 .8
P ( X 0 ) 0 .2
解二 图解法
0.2
0.3
0.15
0.1
0.05
X 的分布函数为
0, F (x) x 1 e ,
x0 x0
对于任意的 0 < a < b,
P (a X b)
a e
b
x
dx
F (b ) F ( a ) e
a
e
b应用场合:用指数分布 Nhomakorabea述的实例有：
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
连续型随机变量及其概率密度
1 连续型随机变量及其概率密度函数 2 常见的连续型随机变量
连续型随机变量及其概率密度函数
定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得
F (x)

x
f (t ) d t
x
其中 F(x) 是它的分布函数． 则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度．
4
若 x 2 , 由题意 , 是必然事件
, 于是
F ( x) P ( X x) 1
综上所述，随机变量X的分布函数为
F (x) 0 x
2
x 0 0 x 2 x 2
4 1
2 常见的连续型随机变量
1 均匀分布 若 X 的密度函数为 f ( x ) ，则称 X 服从区间
f ( x)
0.08
0.06
0.04
0.02
-10
-5
5
a
x
例1 设随机变量
Ae 3 x , f (x) 0,
X 具有概率密度函数 试确定常数A， x 0; 以及 X 的分布函数. x 0.
解:由
1


f ( x ) dx


Ae
0
3x
dx
1 3
A,
0 P ( X a ) P (a x X a )
a x
a
f ( x )d x
0 P ( X a ) lim
x 0 a x
a
f ( x )d x
0
P( X a) 0
命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.
对于连续型随机变量X
a 1
a
例4 解:
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
1 .6 1 P ( 0 X 1 .6 ) 2 0 1 2
0 .3 0 .5
2
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点比 x= 2 所对应的拐点更靠近直线x = .
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的 钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右 对称”。 决定了图形的中心位置， 决定了图形中 峰的陡峭程度。
应用场合:
若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些 影响可以叠加, 则 X 服从正态分布. 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 海洋波浪的高度； 热噪声电流强度；
( x ) 2
2 2
e
x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 记作
2
的正态分布
X
～
N ( ,
2
)
f (x) 的性质： (1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) (2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值:
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
-6
-5
-4
-3
-2
-1
f(x)的两个参数：
— 位置参数 即固定, 对于不同的 , 对应的 f(x)的形状不变 化，只是位置不同. — 形状参数 固定 ，对于不同的 ，f( x)的形状不同. 若 1< 2 则
1 2 1 1 2

人的生理特征； 农作物的收获量； 金属线的抗拉强度； 学生们的考试成绩；

正态分布的重要性: 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由 以下情形加以说明： ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
(x)
z 1 - z ,
z 0 . 95 = -1.645

z 0 . 995 = -2.575
z 1
0
z x
3
指数分布
若X 的密度函数为
e , f (x) 0,
x
x0 其他
> 0 为常数
则称X 服从参数为的指数分布 记作
X ~ E ( )
f ( x ) F ( x )
f(x) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值 的概率.
注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值. x 0 事实上 ( X a ) ( a x X a )
F (x) P(X x) 0
若 0 x 2 ,由题意 , P ( 0 X x ) kx , k 是某一常数 .
2
取 x 2, 有 P ( 0 X 2 ) k 2 1, k