几种常用的连续型随机变量给出一个新概念：广义概率密度函数。

设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x ), 那么任何与之成正比的函数f (x )∝φ(x ), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f (x )是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a , 使得 φ(x )=af (x ) (1)而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 求出将(1)式代入得:1)()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x af dx x ϕ则⎰∞+∞-=dxx f a )(1因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么.4.4 指数分布指数分布的概率密度函数为⎩⎨⎧>=-其它)(x e x xλλϕ 它的图形如下图所示:它的期望和方差如下计算:()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx x xxe dx e xee xd dx ex dx x x E()22020222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe e x e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D指数分布常用来作为各种"寿命"分布的近似.4.5 Γ-分布如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方x k乘上指数函数e -λx , 即⎩⎨⎧>->>=-其它)0,1(0)(λλk x e x x f xk那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k >-1, λ>0, 是因为广义积分⎰⎰+∞-+∞∞-=)(dx e x dx x f x k λ 只有在这种条件下才收敛.此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r =k +1, 因此广义概率密度函数写为⎩⎨⎧>>>=--其它)0,0(0)(1λλr x e x x f xr而真实的概率密度函数φ(x )=af (x ), 可以给出常数a 由下式计算:⎰∞+--=11dx e x a x r λ这样, 计算的关键就是要计算广义积分⎰+∞--01dx e x x r λ, 作代换t =λx , 则x =t /λ, dx =dt /λ, 则⎰⎰⎰+∞--+∞--+∞--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010111dt e tdt et dx e x tr rtr xr λλλλ,问题就转成怎样计算广义积分⎰+∞--01dt e ttr , 这个积分有一个参数r >0, 在r 为一些特定的参数时, 如当r =1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r 为任意的正实数时, 此广义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin , cos 这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为⎰+∞-=Γ01)(dt e t r t r因此, Γ分布的概率密度函数的形式为⎪⎩⎪⎨⎧>>>Γ=--其它)0,0(0)()(1λλϕλr x e x r x xr r记作ξ~Γ(λ,r )Γ函数的一个重要性质是)()1(r r r Γ=+Γ(r >0)成立 证:)()1(010|r r dt e rtdt e et de t dt e t r tr rt t rtrtr Γ==+-=-==+Γ⎰⎰⎰⎰∞+--+∞-∞+-+∞-+∞-上式用到了定积分的分部积分公式⎰⎰-=bababavdu uv udv |此外, Γ(1)=1, 因1)1(|011=-==Γ∞+-+∞--⎰tt e dt e t 则Γ(2)=Γ(1+1)=1, Γ(3)=2Γ(2)=2, Γ(4)=3Γ(3)=3·2·1=3!，… 一般地有!)1(n n =+ΓΓ-分布的数学期望和方差计算如下:λλλλλλλξλλr r r dt e t r x d e x r dx ex r x E tr x r rxr r=Γ+Γ=Γ==Γ=Γ⋅=⎰⎰⎰∞+-+∞-+∞--)()1()(1)()(1)(0012220120120122)1()()()1()()2()(1)()()(1)(λλλλλλλλξλλr r r r r r r r dt e t r x d e r x dx ex r xE tr xr xr r+=ΓΓ+=Γ+Γ=Γ=Γ=Γ=⎰⎰⎰∞+-++∞-++∞--222222)1()(λλλξξξrr rr E E D =-+=-=当r =1时, Γ-分布就是指数分布, 当r 为正整数时,⎪⎩⎪⎨⎧>-=--其它0)!1()(1x e x r x x r rλλϕ为r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang ), 在排队论中用到, 如, 在接完一个电话之后又接了r 次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了r 次故障的时间.当r =n /2(n 是正整数), λ=1/2时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>Γ=--其它)2(21)(2122x e x n x x n n ϕ称为具有n 个自由度的χ2-分布, 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一.一个重要结论, 当有若干个参数λ都相同的相互独立的服从Γ-分布的随机变量相加得到新的随机变量, 则此新的随机变量也服从Γ-分布, 其λ参数仍然不变, 而r 参数则是各个随机变量的r 参数相加.即如果ξ1~Γ(λ,r 1), ξ2~Γ(λ,r 2),…,ξn ~Γ(λ,r n )两两相互独立, 则 ξ=ξ1+ξ2+…+ξn ~Γ(λ,r 1+r 2+…+r n )此性质最常用到的地方, 就是当有k 个相互独立的服从自由度为n 1,n 2,…,n k 的χ2-分布的随机变量ξ1,ξ2,…,ξk 相加得到的随机变量ξ=ξ1+ξ2+…+ξk 服从自由度为n =n 1+n 2+…+n k 的χ2-分布4.6 正态分布正态分布也叫高斯分布，是最常用的一种分布，用来描述许多误差或者大量随机变量之和的分布。

标准正态分布在讨论正态分布之前，先讨论标准正态分布。

说随机变量ξ服从标准正态分布，是指它的概率密度函数为20221)(x ex -=πϕ证明1)(0=⎰+∞∞-dx x ϕ如下：⎰⎰+∞∞--+∞∞-=dx edx x x 20221)(πϕ令du dx x u 2,2==, 则上式=112==⎰+∞∞--πππdu eu上式利用了普阿松广义积分公式π=⎰+∞∞--dx ex 2普阿松积分公式的证明：假设⎰+∞∞--=dx e I x 2则⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-∞+∞--∞+∞--==dxdy edy edx eI y x yx)(22222积分范围在整个平面，作极坐标变换，令θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos上式=ππθπ=-=∞+-+∞-⎰⎰|020022212r r e rdrd e因此π=I由于φ0(x )为偶函数, 因此Eξ=0,⎰+∞∞--==dx exE D x 22222πξξ利用定积分的分部积分公式⎰⎰-=bababavdu uv udv |令,22x ev -=则22x xedv --=12122222222|=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰+∞∞--∞+∞--+∞∞--dx ee x e d x D x xx πππξ因此标准正态分布的数学期望为0, 方差为1.一个一般定理, 如果ξ~φξ(x ), η=σx +μ, σ>0, 则E η=σE ξ+μ, η的分布函数为)(}{}{}{)(σμσμξμσξηξη-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F对两边求导得η与ξ的概率密度间的关系为:⎪⎭⎫⎝⎛-=σμϕσϕξηx x 1)( 现在, 当ξ服从标准正态分布时, 将其乘上一个正的常数σ再加上一个常数μ, 得到的随机变量就服从一般的正态分布, 其概率密度为222)(21)(σμσπϕ--=x ex如果随机变量ξ的概率密度函数为上式, 则记ξ~N (μ,σ2),。