数学之神—阿基米德摘要：本文主要简述了阿基米德的生平事迹，并从数学、力学、机械制造方面分析了阿基米德的主要著作及其研究方法，主要介绍了穷竭法和双重归谬法的结合使用。

也讲述了一些阿基米德的发现过程中的一些轶事，包括阿基米德单人拖船、浮力原理的发现等。

从而更加深刻的了解数学之神的神奇之处。

关键词：阿基米德；数学；研究方法引言美国的E.T.贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。

不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。

1生平经历公元前287年，阿基米德诞生于希腊西西里岛叙拉古附近的一个小村庄，他出生于贵族，与叙拉古的赫农王（King Hieron）有亲戚关系，家庭十分富有。

阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。

阿基米德的意思是大思想家，阿基米德受家庭的影响，从小就对数学、天文学特别是古希腊的几何学产生了浓厚的兴趣。

阿基米德出生时，在当时古希腊的辉煌文化已经逐渐衰退，经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城；但是另一方面，意大利半岛上新兴的罗马共和国，也正不断的扩张势力；北非也有新的国家迦太基兴起。

阿基米德就是生长在这种新旧势力交替的时代，而叙拉古城也就成为许多势力的角斗场所。

公元267年，也就是阿基米德十一岁时，阿基米德被父亲送到埃及的亚历山大城跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习。

亚历山大城位于尼罗河口，是当时世界的知识、文化贸易中心，学者云集，人才荟萃，被世人誉为“智慧之都”。

举凡文学、数学、天文学、医学的研究都很发达。

阿基米德在亚历山大跟随过许多著名的数学家学习，包括有名的几何学大师—欧几里德，阿基米德在这里学习和生活了许多年，他兼收并蓄了东方和古希腊的优秀文化遗产，对其后的科学生涯中作出了重大的影响，奠定了阿基米德日后从事科学研究的基础。

公元前218年罗马帝国与北非迦太基帝国爆发了第二次布匿战争。

身处西西里岛的叙拉古一直都是投靠罗马，但是公元前216年迦太基大败罗马军队，叙拉古的新国王（海维隆二世的孙子继任），立即见风转舵与迦太基结盟，罗马帝国于是派马塞拉斯将军领军从海路和陆路同时进攻叙拉古。

叙拉古和罗马帝国之间发生战争，是在阿基米德年老的时候，罗马军队的最高统帅马塞拉斯率领罗马军队包围了他所居住的城市，还占领了海港。

阿基米德虽不赞成战争，但又不得不尽自己的责任，保卫自己的祖国。

阿基米德眼见国土危急，护国的责任感促使他奋起抗敌，于是阿基米德绞尽脑汁，日以继夜的发明御敌武器。

2数学成就及其研究方法2.1穷竭法和归谬法（即无限分割的思想和反证法）圆面积计算的证明证明圆的面积是该圆周长与半径乘积的一半，即圆面积= 1/2 圆周长 * 半径他的证明用的反证法，用圆的外切与内接正方形逐次边数加倍的办法“穷竭”而使内接或外切正多边形的周长逼近圆周的办法。

欧几里得在《几何原本》讨论了许多圆的性质，但没有提到圆周率的值和圆面积、圆周的计算方法。

阿基米德却在科学是上首创使用上下界来解定一定量的近似值，而且提供了误差的计算。

阿基米德先作出了一个直径为1的圆并在圆周上作出了6个点等分圆周，然后把6个点连接起来，在圆内作出一个正六边形，即圆的内接正六边形。

它的6条边长的总和一定比圆的周长短（阿基米德已证）。

而圆内接6边形的周长容易求得。

然后，阿基米德又以刚才的顶点作了一个圆外切正六边形。

然后计算周长，然后得到一个π的范围。

阿基米德最后作到了96边形，将π的范围缩小到3.1408到3.1429之间。

阿基米德在《抛物线图形求积法》中用“穷竭法和归谬法”思想求得抛物线与一直线相交围成的面积是同底等高三角形面积的34（以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的4/3）后来他还用力学的方法进行了验证。

可见“穷竭法和归谬法”是黄金组合，阿基米德把两者运用得出神入化，解决了一个又一个难题。

下面给出些例子：命題 33：「球面积等于最大圆面积的 4 倍」类似的命题有1、球的体积是外切圆柱体积的2、球面面积是外切圆柱表面积的3、牟合方盖的体积是其外切立方体的（这三个定理合称“阿基米德三分二定理”）2.2.物理学方法2.2.1数学与力学结合阿基米德作为数学力学家，他惯用数学与力学结合的方法来解决数学和力学难题。

他说过，力学便于我们发现结论，而几何则能帮助我们对结论作出证明。

例如他用杠杆力矩原理和分割、求和、取极限的思想实质上是定积分雏形。

又如在求抛物线面积是也用到了相似的方法进行推测。

=4S S 圆球方法虽然精彩，但用力学的法方只能作为一种直观推测，不能作为证明。

而且这种方法也不是万试万灵的。

后来的这些推测大多都由“穷竭法”和“双重归谬法”证出。

2.2.2数学与运动学结合什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。

当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。

阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = a θ 。

运用阿基米德螺旋线能解决尺规作图3大古典难题的其中两个。

但阿基米德螺旋线本身不能由尺规得出。

2.3其他数学著作《砂粒计算》是专讲计算方法的一本著作。

阿基米德要计算充满宇宙天体内的砂粒数量，提出了奇特的想象，提出了表示任何大数量的模式。

（科学计数法）《平面的平衡》讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。

《引集论》提到了很多有趣问题，其中一个“群牛问题”（8个未知数和8个方程求解）尽管阿基米德现在流传下来的著作很多，且都具有里程碑意义，但还有接近一半的著作没有流传下来，仅在别的数学家作品中提到。

3力学成就3.1浮力原理内容：浸在液体中的物体受到向上的浮力，浮力大小等于它排开液体所受的重力。

表达式：F =G =m g=gv 浮排排液排浮力原理的发现：有一次，国王要金匠给他做一顶金王冠，做王冠用的金子事先称过重量。

王冠做好了，国王听说工匠在王冠中掺进了白银，偷走了一些金子。

可是，称称王冠的重量，并没有少；从外表看，也看不出来。

没有证据，就不能定金匠的罪。

国王把阿基米德找去，要他判断这顶王冠有没有掺进白银，如果掺了，掺进去多少。

据说，阿基米德是从洗澡得到启发，才解答了这个难题。

这天，他去澡堂洗澡，心里还想着王冠问题。

当他慢慢坐进澡盆的时候，水从盆边溢了出来。

他望着溢出来的水发呆，忽然，高兴地叫了起来：“找到了！找到了！”阿基米德连衣服都来不及穿好，竟然赤着身子，从澡堂跑回家里。

原来，阿基米德已经想出了一个简便方法，可以判断王冠是不是纯金做的。

他把金王冠放进一个装满水的缸中，一些水溢了出来。

他取出金冠，把水装满，再将一块同王冠一样重的金子放进水里，又有一些水溢了出来。

他把两次溢出的水加以比较，发现第一次溢出来的多。

于是他断定王冠中掺了银子。

然后，他又经过一番试验，算出了银子的重量。

当他宣布这个结果的时候，金匠们一个个惊得目瞪口呆。

他们怎么也弄不清楚，为什么阿基米德会知道他们的秘密。

当然，说阿基米德是从洗澡中得到启发，并没有多大根据。

但是，他用来揭开王冠秘密的原理流传下来，就叫做阿基米德定律。

直到现代，还在利用这个原理测定船舶载重量。

每个中学生在物理课上也要学到这条定律。

3.2杠杆原理关于阿基米德推动地球之说，这还是他在亚里山大里亚留学时候的事．当时他从埃及农民提水用的“沙杜佛”(吊杆)和奴隶们撬石头用的撬棍，发现了可以借助一种杠杆来达到省力的目的，而且发现，手的握点至支点的这一段越长，就越省力气．由此他提出了这样一个定理：力臂和力(重量)的关系成反比例．这就是杠杆原理．用我们现在的表达方是： 为此，他曾给当时的国王艾希罗写信说：“我不费吹灰之力，就可以随便牵动任何重的东西；只要给我一个支点，给我一根足够长的杠杆，我也可以推动地球．1122F F l l3．3天文研究阿基米德发展了天文学测量用的十字测角器，并制成了一架测算太阳对向地球角度的仪器。

阿基米德还曾经运用水力制作一座天象仪，球面上有日、月、星辰、五大行星。

根据记载，这个天象仪不但运行精确，连何时会发生月蚀、日蚀都能加以预测。

阿基米德还认为地球可能是圆的。

晚年阿基米德开始怀疑地球中心学说，并猜想地球有可能绕太阳转动，这个猜想一直到哥白尼时代才被人们提出来讨论。

4机械发明4.1阿基米德螺旋阿基米德在亚历山大留学时发现生活在尼罗河旁边的农民们没有一种有效的工具从河里取水，生活很不方便。

他就设计了一种巨大的螺旋型物体，通过摇动就可以把水运送到较高的另一端。

4.2叙拉古号叙拉古号不是战舰，而是古代邮轮，据说里面有浴池，有马圈，客房，体育场，图书馆，空中花园，长约一百多米，由阿基米德亲自操刀设计，古希腊最厉害的船舶建造师打造，充分利用了阿基米德的浮力力学。

4.3阿基米德单人拖船国王赫农王相刁难阿基米德，说“你曾说给你一个支点可以撬动地球。

那么你一个人拖动一条大船应该可以吧。

”阿基米德对杠杆和滑轮的功能充满信心，他说不管多重的东西他都能通过螺丝、滑车、杠杆、齿轮的组合使它移动。

当天阿基米德用它发明制造的机器，他用手轻轻摇，搁浅的大船像在空气中一样移动。

国王和人们大惊，国王立刻对全国人们说，以后不管阿基米德说什么大家都要相信。

5阿基米德之死罗马的百万大军进攻叙拉古小城。

阿基米德改造了叙拉古的城堡，负责防御的指挥。

通过他发明的武器和巧妙的改造城堡，使千军万马的敌人毫无办法。

可以说是阿基米德一个人在对抗罗马大军的千军万马。

罗马军队只能采取围而不攻的策略。

整整围城3年。

长期的胜利使叙拉古守城的士兵以为他们是不可被攻破的，都去参加一个节日的宴会，结果罗马大军乘虚而入，叙拉古沦陷。

而之后就是大家都知道的故事，阿基米德在死起依然斥责罗马士兵别弄坏他的草图，最终死在罗马士兵手中。

6结语阿基米德的一生几乎解决了当时数学界无法回答的所有主要问题。

他在估算面积时对穷竭法的完美使用以及利用螺旋线来确定切线的方法，使他发现微积分只有咫尺之遥，最终这个伟大的方法直到18个世纪以后才被发现；他使用实验模拟来解决几何问题的方法，是对当时被人们所认可的常识的巨大挑战；他对曲边图形面积和表面积的研究，极大地推动了几何学中这一分支的进步；他对很小和很大数的计算给算术带来了崭新的方法；他所做出的很多开创性的和重要的发现，都显示出他无与伦比的洞察力。

数学家们把阿基米德、牛顿、高斯并称史上三大数学家。

参考文献：[1]张红. 数学简史[M]. 科学出版社, 2010年1月8日.[2]陈诗谷. 数学大师启示录[M]. 开明出版社. 2005-01-01。