第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。

他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。

同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。

像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

后项与前项的差叫做这个数列的公差。

如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。

进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。

一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。

所以：1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。

因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

希望教师能帮助孩子牢固掌握。

【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100（2）2＋5+8+…＋23+26＋29分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。

所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550（2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。

所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155其实在这里，我们还有一个找项数的公式。

那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得第2项=首项+公差= 首项+公差×1第3项=第2项+公差= (首项+公差)+公差=首项+公差×2第4项=第3项+公差= (首项+公差×2)+公差=首项+公差×3第5项=第4项+公差= (首项+公差×3)+公差=首项+公差×4第6项=第5项+公差= (首项+公差×4)+公差=首项+公差×5……第n项=首项+公差×（n-1）……末项=首项+公差×(项数—1)末项—首项=公差×(项数—1)项数=(末项—首项)÷公差+1通过上面的分析，我们还可以发现：第4项－第3项=公差×1第5项－第3项=公差×2第6项－第3项=公差×3第6项－第2项=公差×4第n项－第3项=公差×（n-3）第n项－第m项=公差×（n－m），（n＞m）由此，我们便得到了，等差数列的求项数公式和其它一些公式关系，大家不要死记硬背，一定要理解运用。

【例4】利用上题得到的结论计算下面结果。

（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）0、4、8、12、16、20、……，它的第43项是多少？（3）已知等差数列2、5、8、11、14 …，问47是其中第几项？（4）已知等差数列9、13、17、21、25、…，问93是其中第几项？分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项。

第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；（2）第43项=0+4×（43-1）= 168 。

（3）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项。

其实求项数公式，也就是求第几项的公式。

【例5】（1）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.（2）如果一等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.分析：要求第8项，必须知道首项和公差。

第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第8项=首项+7×公差=45 。

（2）公差=7，首项=2，第6项=37。

【例6】（1）（第二届“迎春杯”刊赛）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有_____个？（2）（第五届迎春杯刊赛）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是____？分析：在讲解此题之前，教师可先引入【附1】；因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．（2）在1至100中，被9整除的数的和是：9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594；1至100各数之和是：1+2+3+…+100=5050；所以在1至100的各数中，所有不能被9整除的数的和是：5050—594=4456．【例7】计算各数列的和：（1）3＋4＋5＋…＋99＋100（2）4＋8＋12＋…＋32＋36（3）65＋63＋61＋…＋5＋3+1分析：（1）项数：（100－3）÷1＋1=98 ；和：（3+100）×98÷2=5047 ；（2）项数：（36－4）÷4＋1=9 ；和：（4+36）×9÷2=20×9=1800 ；（3）项数：（65－1）÷2＋1=33 ；和：（1+65）×33÷2=33×33=1089 。

题目做完以后，我们再来分析一下，（2）题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9，（3）题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33，其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

这个定理称为中项定理.每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？分析：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，是一个等差数列。

2106是第n=（2106-2）÷4+1=527层，中间一层是第（527+1）÷2=264层，那么中间一层有：2+（264-1）×4=1054块，这堆砖共有：1054×527=555458（块）。

【例9】计算：（1）（1+3+5+……+1997+1999）一（2+4+6+……1996+1998）（2）4000-5-10-15-…-95-100分析：（1）法1：第一个数列的项数1000，第二个数列的项数为999，利用求和公式得：（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000 。

方法2：第一个括号内共有1000个数，第二个括号内有999个数。

把1除外，第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大1，因此可简捷求和。

原式=1+(3-2)+(5-4)+……+(1999-1998)=l+1+1+……+1 (共1000个1)=1000（2）分析：通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。

4000-5-10-15-…-95-100＝4000-(5+10+15＋…＋95+100)＝4000-(5+100)×(20÷2)＝4000-1050＝2950。

当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。

【例10】把自然数按下面形式排列，它的第一行是1、2、4、7、11……那么第一行的第100个数是几? 1，2，4，7，1l，……3，5，8，12，……6，9，13，……10，14，……15，…………分析：观察上面数的排列规律，从右上方到左下方看斜行，依次是1，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，……各斜行数的个数顺次是1，2，3，4，……所以第一行的第100个数，正好是第100个斜行的第一个数。