◈图的节点数为N(G)=12，管段数M(G)=11。
管网图的关联集
（1）节点的度 图G(V,E)中，与某节点v关联的管段的数目称为该节点的度 ，记为d(v)，简记为dv。各节点度之和等于其管段数的两 倍。 （2）关联集 图G(V,E)，与节点v相关联的管段集合称为节点v的关联集， 记为S(v)或Sv。 图4.5中，各节点关联集为：S1={1}、S2={1,2,4}、S3={2,3,5} 、S4={3,6}、S5={4,7}、S6={5,7,8}、S7={6,8}。
（3）欧拉公式
设管网图节点数为 N ，管段数为 M ，连通分支数为 P，内环 数为L，则： L+N=M+P 对于一个连通的管网图： M=L+N-1
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4.3 管网模型的水力特性
4.3.1节点流量方程
在管网模型中，所有节点都与若干管段相关联。 对于管网模型中的任意节点，根据质量守恒规律， 流入节点的所有流量之和应等于流出节点的所有 流量之和，表示为：
给水排水管网模型的节点流量方程组与管
段能量方程组联立，组成管网恒定流基本方
程组。
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4.4 管网模型矩阵方程
4.4.1恒定流基本方程组矩阵表达 在定义了管网图的关联矩阵后，可以将恒定 流基本方程组表示为：
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节点流量方程组
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管段能量（压降）方程组
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（2）生成树
从非树状的连通图G(V,E)中删除若干边后，使之成为树， 则该树称为原图 G的生成树。生成树包含连通图的全部节点和 部分管段。 在构成生成树时，被保留的边称为树枝，被删除的边称为 称为连枝。其连枝数等于环数L。 生成树需满足两个条件： 1）保持原管网图的连通性； 2）必须破坏所有的环或回路。
第4章 给水排水管网模型
4.1 给水排水管网的模型化
管网模型：将给水排水管网工程实体简化和抽象为
用管段和节点两类元素图形和数据表达的系统，称为
给水排水管网模型。 管网模型分类：拓扑模型、水力模型、水质模型、 运行管理模型。 管网模型内容：管网拓扑关系和水力、水质特性。
模型理论基础：数学、水力学、化学、生物学。
（2）节点：管网中端点、有分支的点或大流量出入点。
节点只传递能量，但有流量的改变（有流量输入、输出）
（3）管段和节点的属性 管段的构造属性：管段长度、直径、粗糙系数 管段的拓扑属性：管段方向、起端节点、终端节点 管段的水力属性：流量、流速、扬程、摩阻、压降 节点的构造属性：高程、位置 节点的拓扑属性：关联管段及方向、节点的度 节点的水力属性：流量、水头、自由水头 其他一些基本概念： 管网的环：起点和终点重合的管线。 基环：不含其它环的环。 大环：含有基环的环。
4.2.3 树
（1）树的定义和性质
定义：无回路且连通的图 G(V,E) 定 义 为 树 ， 用 符 号 T(V,G) 表示，组成树的管段称 为树枝。 排水管网和小型的给水管 网通常采用树状管网，其拓扑 特性即为树，如图示。
树的性质：
1）任意删除一条管段，将使管网图成为非连通图。 2）任意两个节点之间必然存在且仅存在一条路径 3）任意两个节点间加上一条管段，则出现一个回路。 4 ）由于不含回路（ L=0 ），树的节点数 N 与树枝数 M 关 系为：M=N-1。
3、管网图的连通性
管网图G(V,E)中，任意两个顶点均通过一 系列边及顶点相连通，即从一个顶点出发， 经过一系列相关联的边和顶点，可以到达 其余任一顶点，则称G为连通图，否则为非 连通图。
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4.2.2 路径与回路（环）
（1）路径：图G(V,E)中，从节点v0到vk的一个节点与管段 交替的有限非零序列v0e1v1e1…ekvk, ，称为行走，如果 行走不含重复的节点，称为路径。管段数k为路径的长度， v0与vk分别为路径的起点和终点。 （2）回路（环）：图G(V,E)中，起点与终点重合的的路径 称为回路，记为RK，k为回路的编号。环的方向一般设定 为顺时针方向。如图4.8所示图中，R1={2,5,7,4}、 R2={2,3,6,8,7,4} 、R3 ={3,6,8,5}均为回路，其中R1和 R3是内环。 15
简化前
简化后
3
4.1.2 给水排水管网模型元素
模型基本元素：管段和节点
（1）管段：两节点之间的管线。
管道只输送水量，中间不允许有流量输入或输出，但因 有管道阻力，所以有能量改变。 沿线流量： 指供给（收集）该管段两侧用户所需（排放） 的流量。应用水力等效原则折算到管道两端的节点上。 节点流量：从沿线流量折算得出的并且假设是在节点集 中流出的流量。给水管网将沿线流量平均分到管道两端节点 上。排水管网则将沿线收集水量折算到端点上。 当管线中间有较大的集中流量（工业企业、医院、学校 等）时，应在集中流量点处划分管段，设置节点。
4.1.1 给水排水管网简化
（1）简化原则
1）宏观等效原则。保持其功能，各元素之间的 关系不变。 2）小误差原则。简化模型与实际系统的误差在 一定允许范围，满足工程上的要求。
（2）管线简化一般方法
1）删除次要管线，保留主干管线和干管线。 2）相近交叉点合并，减少管线的数目。 3) 删除全开阀门，保留调节阀、减压阀等。 4）串联、并联管线水力等效合并。 5）大系统拆分为多个小系统，分别计算。
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（2）管段方向的设定：总是从起点指向终点
设定方向不一定等于管段中的水流方向， 因有些管段中的水流方向是可能变化的， 且计算前有些管段无法确定流向。
（3）节点流量 的方向设定 流出节点：流量为正 流入节点：流量为负
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4.2
特征。
管网模型拓扑特性
拓扑学：数学分支。研究几何图形变化和图形 图论：拓扑学中的主要内容。研究由点和线构
式中：qi——管段流量；Qj——节点流量； Sj——节点关联集；N ——节点总数； ∑±——表示对节点关联管段进行有向求和，管段方 向指向该节点时取负号，否则取正号。
节点流量方程组
4.3.2 管段能量方程
在管网模型中，所有管段都与两个节点关联，管段两端节点 水头差（管段压降）表示为：
4.3.3 恒定流基本方程组
成的网络图形变化和其特征，亦称为拓扑特征。
图表示事物（点、顶点）之间的相互关联关系（ 线、边）,又称拓扑关系。
管网模型：模拟或表达给水排水管网的拓扑特
性和水力特性。表达水流的路径和运动状态。
理论基础：质量守恒定律 、能量守恒定律
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4.2.1 管网图的基本概念
1、管网图的几种表示方法
1）几何表示法： 在平面上画上点，表示节点，在相联系的节 点之间画上直线段或曲线段表示管段，所构成 的图形表示一个管网图。改变点的位置或改变 线段的长度与形状等，均不改变管网图。
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2）图的集合表示 ◈节点集合：
V={v1,v2,v3,…vn}；
◈管段集合：
E={e1,e2,e3,…em}；记为G(V,E)。 管段ek=(vi,vj)与节点vi或vj相互关联， 节点vi与vj为相邻节点。
◈例：图4.4所示管网图G(V,E)，
节点集合： V＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)； 管段集合： E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7) ,(8,3) , (9,10) ,(10,5) ,(11,12) ,(12,10)}。
3）图的矩阵表达－关联矩阵
设管网图G(V,E)有N个节点和M条管段，令：
2、有向图
在管网图G(V,E)中， 管段ek=(vi,vj)∈E的两个节点vi∈V和vj∈V有序， 即ek= (vi,vj) = (vi→vj) ≠(vj,vi)， 图G为有向图，节点vi称为起点，节点vj称为终点。 图4.4中： V＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}； E={(1→2),(2→3),(3→4),(4→5),(5→6),(6→7) ,(8→3) ,(9→10) ,(10→5) ,(11→12) ,(12→10)}。 起点集合，记为F：F={1,2,3,4,5,6,8,9,10,11,12}； 终点集合，记为T：T={2,3,4,5,6,7,3,10,5,12,10}。 13