新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句中是命题的是 ( )A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin45°=1C.x 2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢?2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 ( )A.y 2=-8xB.y 2=8xC.y 2=-4xD.y 2=4x 3.已知空间向量b a ,,则0,=b a 是b a ⊥的( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.设x,y ∈R,向量)0,4,2(),0,,1(),10,(-===c y b x a 且,//,c b c a ⊥,则|b a +|=( ) A.5 B.10 C.52 D.105.若命题p 的逆命题是q,命题q 的否命题是x,则x 是p 的 ( )A.原命题B.逆命题C.否命题D.逆否命题6.方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.-16<m<25 B.-16<m< C.<m<25 D.m>7.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC 与AB 的夹角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知下列四个命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题; ②“正方形是菱形”的否命题;③“若ac 2>bc 2,则a>b ”的逆命题; ④若“m>2,则不等式x 2-2x+m>0的解集为R ”.其中真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 9.如图,E 为正方体的棱AA 1的中点,F 为棱AB 上的一点,且∠C 1EF=90°,则AF ∶FB= ( )A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶410.在△ABC 中，AB=2，AC=3，1=⋅AC AB ，则BC=（ ） (A)3 (B)7 (C)22 (D)2311.过点P(-4,0)的直线l 与曲线C:x 2+2y 2=4交于A,B 两点;则AB 中点Q 的轨迹方程为 ( )A.(x+2)2+2y 2=4B.(x+2)2+2y 2=4(-1<x ≤0)C.x 2+2(y+2)2=4D.x 2+2(y+2)2=4(-1<x ≤0) 12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两 点,O 为坐标原点,若OM ⊥ON,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知抛物线x 2=4y 上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是 .14.已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=AA 1=1,则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为 . 15.椭圆14922=+y x 的两个焦点为F 1,F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 横坐标的取 值范围是 .16.有下列命题:①双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点; ②“-<x<0”是“2x 2-5x-3<0”的必要不充分条件; ③若b a ,共线,则b a ,所在的直线平行; ④若c b a ,,三向量两两共面,则c b a ,,三向量一定也共面;⑤∀x ∈R,x 2-3x+3≠0. 其中是真命题的有: .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题17.(10分)已知三点P(5,2),F 1(-6,0),F 2(6,0).(1)求以F 1,F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程.(2)设点P,F 1,F 2关于直线y=x 的对称点分别为P ',21,F F '',求以21,F F ''为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.18.(12分)如图,已知长方体ABCD-D C B A ''''的边长为AB=12,AD=8,5='A A .以这个长方体的顶点A 为坐标原点,射线AB,AD,AA ′分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,(1)求长方体顶点C ′的坐标.(2)计算A,C ′两点间的距离.19.(12分)设命题p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0;命题q:实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x (1)若a=1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围.(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.20.已知直线y=-2上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP ⊥ OQ(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C.(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点(0，2)到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程.21.如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点.(1)求证:BD 1∥平面A 1DE.(2)求证:D 1E ⊥A 1D.(3)在线段AB 上是否存在点M,使二面角D 1-MC-D 的大小为?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.22.(12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x ,左焦点)0,3(-F ,且离心率23=e , (1)求椭圆C 的方程.(2)若直线l :y=kx+m(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M,N(M,N 不是左、右顶点),且以MN 为直径的 圆经过椭圆C 的右顶点A.求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题参考答案21题1选B.只有B 是可以判断真假的陈述句.2.B.因为抛物线的准线方程为x=-2,所以抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 2=2px(p>0), 则其准线方程为x=-,所以-=-2,解得p=4.所以抛物线的标准方程为y 2=8x.3. 选B.因为向量a ,b 中有可能为零向量,所以a ·b =0时,推不出a ⊥b .若a ⊥b ,所以a ·b =0,所 以a ·b =0是a ⊥b 的必要不充分条件.4.选B.因为a ⊥c ,所以2x-4=0,解得x=2,又b ∥c ,所以2y+4=0,所以y=-2,所以a +b =(x+1,1+y,0)=(3,-1,0), 所以|a +b |=10,选B.5.选D.根据四种命题的关系知,命题x 是p 的逆否命题.6.选C.根据题意知16+m>25-m>0,解得<m<25.7.选C.=AB (0,3,3),=AC (-1,1,0).设<AC AB ,,>=θ,则cos θ===,所以θ=60°. 8.选B.①假,应该把且改为或;②其否命题为若一个四边形不是正方形则也不是菱形,假;③其逆命题为若a>b,则ac 2>bc 2,若c=0时取等号,假,④为真.9.选C.以点D 为原点,建立直角坐标系.设该正方体的棱长为2a,则点E(2a,0,a),C 1(0,2a,2a),设F(2a,y,0),则=E C 1(2a,-2a,-a),=FE (0,-y,a),由已知:01=⋅FE E C ,所以2ay-a 2=0,即y=.即:AF=,FB=,所以AF ∶FB=1∶3.10. 选B.如图共有区域为矩形ABCD. 又双曲线12222=-by a x 中a<b, 且1<e=<5,所以有1<<5,即a,b 满足关系式为⎪⎩⎪⎨⎧>><<0,02b a a b b a其对应区域为图形中阴影区域A(1,2),E(2,2),F(5,5),G(3,6),故P==.11.选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),Q(x,y),10题则x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,⇒-=-2(-) ⇒=-⇒k AB =-⇒k PQ ==-⇒(x+2)2+2y 2=4, AB 中点Q 的轨迹方程为(x+2)2+2y 2=4(-1<x ≤0).12. 选D.由题意知三角形OMN 为等腰直角三角形,所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),代入双曲线方程-=1,当x=c 时,-=1,得|y|=,所以由|y|==c,得b 2=ac,即c 2-a 2=ac,c 2-ac-a 2=0,所以e 2-e-1=0,解得离心率e=,选D. 13.由抛物线的定义可知PF=PP 1=5,又准线方程为y=-1,所以P 点纵坐标为4.代入抛物线x 2=4y, 得x=±4.答案:±414.以点D 为原点,建立直角坐标系.则A(1,0,0),B(1,2,0),D 1(0,0,1).因为AB ⊥平面BCC 1B 1,所以AB 为平面BCC 1B 1的法向量.设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ,则有sin θ= |cos<1,BD AB >|===.答案: 15、不妨设|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|+|PF 2|=6a,得|PF 1|=4a, |PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c,则在△PF 1F 2中,∠PF 1F 2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2·4a ·2c ·cos30°,整理得(e-3)2=0,所以e=3.答案:3 16、①中的两曲线的焦点均为(±34,0),正确;对于②不等式2x 2-5x-3<0的解集为-<x<3,所以不正确;③中a ,b 所在的直线也可能重合;④举反例如空间直角坐标系中x,y,z 轴的方向向量;⑤∀x ∈R,x 2-3x+3=(x-)2+>0,正确.答案:①⑤三、解答题17.解析：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), 其半焦距c=6,2a=|PF 1|+|PF 2|=56212112222=+++,所以a=3,b 2=a 2-c 2=9. 所以所求椭圆的标准方程为+=1.(2)点P(5,2),F 1(-6,0),F 2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P ′(2,5),F ′1(0,-6),F ′2(0,6).设所求双曲线的标准方程为-=1(a 1>0,b 1>0),由题意知,半焦距c 1=6,2112F P F P a ''-''==54212112222=+-+.a 1=2,=-=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为-=1.18.【解析】(1)因为AB=12,AD=8,AA ′=5,点A 在坐标原点,即A(0,0,0),且B,D,A ′分别在x 轴、 y 轴、z 轴上,所以它们的坐标分别为B(12,0,0),D(0,8,0),A ′(0,0,5).点C,B ′,D ′分别在 xOy 平面、zOx 平面和yOz 平面内,坐标分别为C(12,8,0),B ′(12,0,5),D ′(0,8,5).点C ′在 三条坐标轴上的射影分别是点B,D,A ′,故点C ′的坐标为(12,8,5).(2)由空间两点间的距离公式得AC ′2335812222=++=,即A,C ′两点间的距离为233. 19. 解析:(1)由x 2-4ax+3a 2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x<3.由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 得2<x ≤3,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x<3. (2)p 是q 的充分不必要条件,即p⇒q,且q⇒p,设A={x|p},B={x|q},则A ÜB,又A={x|p}={x|x ≤a 或x ≥3a}, B={x|q}={x ≤2或x>3},则0<a ≤2,且3a>3,所以实数a 的取值范围是1<a ≤220. 解析：(1)设点P 的坐标为(x,y)，则点Q 的坐标为(x,-2).∵OP ⊥OQ,∴当x=0时，P,O,Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.当x ≠0时， 得k OP ·k OQ =-1,即y 21x x -=-，化简得x 2=2y ， ∴曲线C 的方程为x 2=2y(x ≠0).(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在.设直线l 2的方程为y=kx+b, 由2y kx b,x 2y,=+⎧⎨=⎩得x 2-2kx-2b=0. ∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ=4k 2+8b=0，即2k b .2=- 点(0，2)到直线l 2的距离2222b 1k 4d 2k 1k 1-++==++ 22221313(k 1)2k 1 3.22k 1k 1=++≥⨯+=++当且仅当223k 1,k 2k 1+==±+即时，等号成立.此时b=-1.21. 解析:由题意可得D 1D ⊥平面ABCD,以点D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0). (1)1DA =(1,0,1),DE =(1,1,0),设平面A 1DE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则111DA 0DE 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得⎩⎨⎧=+=+001111y x z x 取x 1=1,则n 1=(1,-1,-1)是平面A 1DE 的一个法向量,又1BD =(-1,-2,1), 且1BD ·n 1=(-1,-2,1)·(1,-1,-1)=0, 故1BD ⊥n 1,又BD 1⊄平面A 1DE. 故BD 1∥平面A 1DE.(2)由题意得E D 1=(1,1,-1),1DA =(1,0,1),E D 1·1DA =(1,1,-1)·(1,0,1)=0,E D 1⊥1DA ,故D 1E ⊥A 1D.(3)设M(1,y 0,0)(0≤y 0≤2),因为MC =(-1,2-y 0,0),C D 1=(0,2,-1),设平面D 1MC 的法向量为v 1=(x,y,z),则111MC 0D C 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，，v v 得⎩⎨⎧=-=-+-020)2(0z y y y x 取y=1,则v 1=(2-y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量,而平面MCD 的一个法向量为v 2=(0,0,1),要使二面角D 1-MC-D 的大小为,则cos =|cos<v 1,v 2>|=1212||v v v v ==, 解得y 0=2-(0≤y 0≤2)当AM=2-时,二面角D 1-MC-D 的大小为.22.解析:(1)由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c ,解得a=2,b=1, 所以椭圆的方程为+y 2=1.(2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=(8km)2-4(1+4k 2)(4m 2-4)>0, 整理得4k 2-m 2+1>0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) 则x 1+x 2=-,x 1x 2=, 由已知,AM ⊥AN 且椭圆的右顶点为A(2,0),所以(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0, y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2, 即(1+k 2)x 1x 2+(km-2)(x 1+x 2)+m 2+4=0, 即(1+k 2)·+(km-2)·+m 2+4=0. 整理得5m 2+16mk+12k 2=0, 解得m=-2k 或m=-均满足4k 2-m 2+1>0. 当m=-2k 时,直线l 的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾舍去, 当m=-时,直线l 的方程为y=k(x-),过定点(,0),故直线l 过定点,且定点的坐标为(,0).。