c
b
c
b
(3) S | a f (x)dx | c f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面
积的求解 练习. 求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的
图形的面积。
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴 y
的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积
22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4 x) |84
40 3
法2：s 8 2xdx 1 4 (8 4)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
X型求解法
2 2 16 2 8 40
3
3
法3：s
4
[(4
y)
1
y2 ]dy
0
2
(4
y
1 2
y2
1 6
y3
)
|04
x 1 y2 2
x 4 y
4 4 1 42 1 43 40
y2 2x
2
22 3
3
x2
|02
( 2 2 3
3
x2
1 2
x2
4x)
|82
16 3
64 3
26 3
18
法2：s
4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4 y
1 2
y2
1 6
y3 ) |42
18
练习
练习 2：计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
xb与 x
轴所围成的曲边梯形面积的负值
b
f
(x)dx Sc
a
a
类型一.求由一条曲线y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) S a f (x)dx
b
(2) S a f (x)dx
练习3 求 y x 3 与直线 x 1, x 2 及 x 轴所围成的
平面图形的面积。
y
解 所围成的图形如图所示：
y x3
则
s
0 1
x
3dx
21.7.2定积分在物理中的应用
一、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
10
40
60
S 3tdt 30dt (1.5t 90)dt
0
10
40
3 2
t2
10 0
30t
40 10
(
3 4
t2
90t)
60
1350(m)
40
法二：由定积分的几何意义，
直观的可以得出路程即为 如图所示的梯形的面积，即
v /m/ s
30 A
B
20
10
C t/s o 10 20 30 40 50 60
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
O
1 xdx 1 x2dx
0
0
C
y x2
o y xx2
DA
S =
1
(
0
x - x2)dx
(2 3
3
x2
x3 3
)
|10
1. 3
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
26
3
Y型求解法
练习
练习 1（例 2 变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
S 2S1 S2
x 1 y2
y 2x y 2 x 4
S1 S1
S2 x 4 y
2
8
20 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
伸长（或压缩）成正比，
即 F kx
已知 F 1N , x 0.01
代入上式得 k 100
o
从而变力为 F 100x 所求的功
比例系数
x
F kx
x
W
0.1
100 xdx
0.5J
0
练一练
3.一物体在力
F
(
x)
10 3 x
4
(0 ≤ x ≤ 2) (单位:N)的作用下,沿着 ( x 2)
(1)
y g(x) (2)
总结：当 x∈[a，b]有 f(x)>g(x)时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)
和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
b
a
f
x
g
xd. x
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
y x3 6x
y
x2
A1
0 2
(0,0), (2,4), (3,9).
(x3 6x x2 )dx
y x2
A1
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
于是所求面积 A A1 A2
A2
y x3 6x
A
0
2
(
x3
6
x
x2
)dx
3
0
(x
2
x3
6
x)dx
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S2 S1 y x 4
4
8
8
S S1 S2 4
0
2xdx [
8
4
2xdx ( x 4)dx]
8
4
(0 2xdx 4 2xdx) 4 ( x 4)dx
8
8
0 2xdx 4 ( x 4)dx
1.7.1定积分的简单应用
一、复习
1.平面图形的面积:
y y f (x)
y
y f2(x)
A
A
y f1( x)
oa
bx
oa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
2.微积分基本定理: [其中F´(x)=f(x)]
b a
f
( x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所
作的功为( )J
(A)44 (B)46 (C)48 (D)50
B
析：W
4
F ( x)dx
2
10dx
4
(3x 4)dx
0
0
2
10 x
|02
( 3 2
x2
4x)
|42
46(J )
练一练4一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F( x)dx
0
L 0
kxdx
1kx 2 2
|0L
1 2
kl 2(J )
答:克服弹力所作功的功为 1 kl 2J .
2
练一练 1.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米， 要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？
解 如图：建立直角坐标系。
因为弹力的大小与弹簧的
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F (x)dx
x
Oa
xi
b
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到 离水平位置l 米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
力Ｆ(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比
F (a)
b
3.定积分 f (x)dx的几何意义: a
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与
x轴所围成的曲边梯形的面积。b
y
a
f
(x)dx
c
=sa