定积分训练题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．将和式的极限)0(.......321lim 1
>+++++∞→p n n P p
p p p n 表示成定积分 （ ）
A ．dx x
⎰101 B ．dx x p ⎰10 C ．dx x p ⎰10)1( D ．dx n x p
⎰10)(
2．下列等于1的积分是
（ ）
A ．
dx x ⎰
1
B ．dx x ⎰+10
)1(
C ．dx ⎰
1
01
D ．dx ⎰1
021
3．dx x |4|1
02
⎰
-=
（ ）
A ．
321 B ．322 C ．3
23 D ．325
4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ）
A ．320gt
B ．2
0gt C ．2
2
0gt
D ．6
2
0gt
5．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积
（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
5
D ．3 6．dx e e x x ⎰
-+1
)(=
（ ）
A ．e e 1
+
B ．2e
C ．
e
2
D ．e
e 1-
7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为
（ ）
A ．()[]dy y y ⎰--1
1
B ．
()[]dx x x ⎰-+-210
1
C ．
()[]dy y y ⎰--210
1
D ．()[]dx x x ⎰
+--10
1
9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ）
A ．0.18
B ．0.26
C ．0.12
D ．0.28
10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，
则该正方形薄片所受液压力为 （ ）
A ．⎰
3
2
dx x ρ B ．
()⎰+2
1
2dx x ρ
C ．⎰
1
dx x ρ D ．
()⎰+3
2
1dx x ρ
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21
.........2111(
lim n
n n n +++++∞
→表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．
14．按万有引力定律，两质点间的吸引力2
2
1r m m k
F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试
求所作之功（ｂ＞a ） ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）计算下列定积分的值 （1）⎰
--3
1
2
)4(dx x x ； （2）⎰-2
1
5
)1(dx x ； （3）dx x x ⎰+20
)sin (π
； （4）dx x ⎰-
22
2cos π
π；
16．（12分）求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．
17．（12分）求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.
18．（12分）一物体按规律x ＝bt 3
作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正
比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功． 19．（14分）设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.
20．（14分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S max．
O
x
y F A B C
D
E G
图
参考答案
一、
1．B ；2．C ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ；7．B ；8．C ；9．A ；10．A ；
二、11．dx x ⎰+1
011；12．dx x ⎰-102
)1(；13．dx x ⎰π20|cos |；14．)11(21b
a m km -；
三、
15．（1）
（2）
（3）
（4）
16．解：首先求出函数x x x y 22
3
++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，
所以所求面积为dx x x x A ⎰-++--=0 1 23)2(dx x x x ⎰
++-+2 0 23)2(12
37
=
17．解：焦点坐标为)0,(a F ，设弦AB 、CD 过焦点F ，且OF AB ⊥．
由图得知：FBD FBE AGF ACF S S S S >=>，故AFBDOA ACFDOA S S >．
所求面积为：22 0 23842a dy a y a A a ⎰
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=． 18．解：物体的速度233)(bt bt dt
dx
V ='==
．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a 时，31
1)(b
a
t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为
32
77130
320
3
2
7
27727)3(1
1
1
b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ==
==⋅==⎰⎰⎰⎰ 19．解：（1）设f （x ）=ax 2
+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，
又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.
∴f （x ）=x 2
+2x +c
又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1.
故f （x ）=x 2
+2x +1. （2）依题意，有所求面积=3
1
|)31()12(01
23201
=++=++--⎰
x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t t
d )12(d )12(2
021
++=++⎰⎰
---，
∴023123|)3
1(|)31(
t
t x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2
+6t －1=0， ∴2（t －1）3
=－1，于是t =1－32
1.
评述：本题考查导数和积分的基本概念.
20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为x 1=0，x 2=－b/a ，所以
3
20
261)(b a
dx bx ax S a
b =
+=⎰-
(1) 又直线x ＋y=4与抛物线y=ax 2
＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组⎩⎨⎧+==+bx
ax y y x 2
4
得ax 2
＋(b ＋1)x －4=0，其判别式必须为0，即(b ＋1)2
＋16a=0． 于是,)1(161
2+-
=b a 代入（1）式得： )0(,)1(6128)(4
3>+=b b b b S ，5
2)1(3)
3(128)(+-='b b b b S ； 令S'(b)=0；在b ＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b ＜3时，S'(b)＞0；当b ＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S 取得最大值，且2
9
max =S ．。