第三章《直线与方程》单元检测试题时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.已知点A(1,3),B(-1,33),则直线AB的倾斜角是()A.60°B.30°C.120°D.150°[答案]C2.直线l过点P(-1,2),倾斜角为45°,则直线l的方程为()A.x-y+1=0 B.x-y-1=0C.x-y-3=0 D.x-y+3=0[答案]D3.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则a的值为()A.-3 B.-6C.32D.2 3[答案]B4.直线xa2-yb2=1在y轴上的截距为()A.|b| B.-b2C.b2D.±b[答案]B5.已知点A(3,2),B(-2,a),C(8,12)在同一条直线上,则a的值是()A.0 B.-4C.-8 D.4[答案]C6.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限[答案]D7.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是() A.-2 B.-7C.3 D.1[答案]C8.经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y=5=0的交点,并且经过原点的直线方程是( )A .19x -9y =0B .9x +19y =0C .3x +19y =0D .19x -3y =0[答案] C9.已知直线(3k -1)x +(k +2)y -k =0,则当k 变化时,所有直线都通过定点( )A .(0,0)B .(17,27)C .(27,17)D .(17,114)[答案] C10.直线x -2y +1=0关于直线x =1对称的直线方程是( )A .x +2y -1=0B .2x +y -1=0C .2x +y -3=0D .x +2y -3=0[答案] D11.已知直线l 的倾斜角为135°,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b 等于( )A .-4B .-2C .0D .2[答案] B12.等腰直角三角形ABC 中,∠C =90°,若点A ,C 的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B 的坐标可能是( )A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)C.(4,6) D.(0,2)[答案]A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于A,B 两点,线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率为_________.[答案]-23[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y22=-1,又y1=1,∴y2=-3,代入方程x-y-7=0,得x2=4,即B(4,-3),又x1+x22=1,∴x1=-2,即A(-2,1),∴k AB=-3-14--2=-23.14.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为_________.[答案]x+6y-16=0[解析]直线l就是线段AB的垂直平分线,AB的中点为(4,2),k AB=6,所以k l=-16,所以直线l的方程为y-2=-16(x-4),即x+6y-16=0.15.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________.[答案]32[解析]依题意,知l1∥l2,故点M所在直线平行于l1和l2,可设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得|m+7|2=|m+5|2⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为|-6|2=3 2.16.若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y +3=0所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°,其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号)[答案]①⑤[解析]两平行线间的距离为d=|3-1|1+1=2,由图知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.[点评]本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目,但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻,这一问题还是不难解决的.所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂,只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2015·河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线l经过点P(-2,5)且斜率为-3 4,(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.[解析](1)直线l的方程为:y-5=-34(x+2)整理得3x+4y-14=0.(2)设直线m的方程为3x+4y+n=0,d=|3×-2+4×5+n|32+42=3,解得n=1或-29.∴直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.18.(本小题满分12分)求经过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点,且垂直于直线x+3y+4=0的直线方程.[解析]解法一:设所求直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y +4)=0,即(3+λ)x +(3λ-2)y +(1+4λ)=0.由所求直线垂直于直线x +3y +4=0,得 -13·(-3+λ3λ-2)=-1. 解得λ=310.故所求直线方程是3x -y +2=0.解法二:设所求直线方程为3x -y +m =0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -2y +1=0,x +3y +4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1, 即两已知直线的交点为(-1,-1).又3x -y +m =0过点(-1,-1),故-3+1+m =0,m =2.故所求直线方程为3x -y +2=0.19.(本小题满分12分)已知A (4,-3),B (2,-1)和直线l :4x +3y -2=0,求一点P ,使|PA |=|PB |,且点P 到直线l 的距离等于2.[分析] 解决此题可有两种思路,一是代数法,由“|PA |=|PB |”和“到直线的距离为2”列方程求解;二是几何法,利用点P 在AB 的垂直平分线上及距离为2求解.[解析] 解法1:设点P (x ,y ).因为|PA |=|PB |, 所以x -42+y +32=x -22+y +1 2.①又点P 到直线l 的距离等于2, 所以|4x +3y -2|5=2.② 由①②联立方程组,解得P (1,-4)或P (277,-87).解法2:设点P (x ,y ).因为|PA |=|PB |,所以点P 在线段AB 的垂直平分线上.由题意知k AB =-1,线段AB 的中点为(3,-2),所以线段AB 的垂直平分线的方程是y =x -5.所以设点P (x ,x -5).因为点P 到直线l 的距离等于2,所以|4x +3x -5-2|5=2. 解得x =1或x =277.所以P (1,-4)或P (277,-87).[点评] 解决解析几何问题的主要方法就是利用点的坐标反映图形的位置,所以只要将题目中的几何条件用坐标表示出来,即可转化为方程的问题.其中解法2是利用了点P 的几何特征产生的结果,所以解题时注意多发现,多思考.20.(本小题满分12分)△ABC 中,A (0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0.(1)求直线AB 的方程;(2)求直线BC 的方程;(3)求△BDE 的面积.[解析] (1)由已知得直线AB 的斜率为2,∴AB 边所在的直线方程为y -1=2(x -0),即2x -y +1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y +1=0,2x +y -3=0得⎩⎪⎨⎪⎧ x =12,y =2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12,2).设C (m ,n ),则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m +2n -4=0,2·m 2+n +12-3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ m =2,n =1,∴C (2,1).∴BC 边所在直线的方程为y -12-1=x -212-2,即2x +3y -7=0.(3)∵E 是线段AC 的中点,∴E (1,1).∴|BE |=12-12+2-12=52,由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y +1=0,x +2y -4=0得⎩⎨⎧ x =25,y =95,∴D (25,95),∴D 到BE 的距离为d =|2×25+95-3|22+12=255, ∴S △BDE =12·d ·|BE |=110.21.(本小题满分12分)直线过点P (43,2)且与x 轴、y轴的正半轴分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB 的周长为12;(2)△AOB 的面积为6.若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.[解析] 设直线方程为x a +y b =1(a >0,b >0),若满足条件(1),则a +b +a2+b2=12,①又∵直线过点P (43,2),∵43a +2b =1.②由①②可得5a 2-32a +48=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =3,或⎩⎨⎧ a =125,b =92,∴所求直线的方程为x 4+y 3=1或5x 12+2y 9=1,即3x +4y -12=0或15x +8y -36=0.若满足条件(2),则ab =12,③由题意得,43a +2b =1,④由③④整理得a 2-6a +8=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =6, ∴所求直线的方程为x 4+y 3=1或x 2+y 6=1,即3x +4y -12=0或3x +y -6=0.综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x +4y -12=0.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的长为2,宽为1,AB ,AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合,如图,将矩形折叠,使A 点落在线段DC 上.(1)若折痕所在直线的斜率为k ,试求折痕所在直线的方程;(2)当-2+3≤k ≤0时,求折痕长的最大值.[解析] (1)①当k =0时,A 点与D 点重合,折痕所在的直线方程为y =12.②当k ≠0时,将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1),∴A 与G 关于折痕所在的直线对称,有k OG ·k =-1⇒1a ·k =-1⇒a =-k .故G 点坐标为(-k,1),从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (-k 2,12).故折痕所在的直线方程为y -12=k (x +k 2),即y =kx +k22+12.由①②得折痕所在的直线方程为y =kx +k22+12.(2)当k =0时,折痕的长为2.当-2+3≤k <0时,折痕所在直线交直线BC 于点E (2,2k +k22+12),交y 轴于点N (0,k2+12).则|NE |2=22+[k2+12-(2k +k22+12)]2=4+4k 2≤4+4(7-43)=32-16 3.此时,折痕长度的最大值为32-163=2(6-2).而2(6-2)>2,故折痕长度的最大值为2(6-2).。