20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点1．递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a dm n a a dn a a da a m n n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2c a b+=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

3．前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S BnAn n f S n d a n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

4．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )(-=-⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法： ),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列{}n a 中，)(31,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++A ．14B ．15C ．16D ．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，0003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110解：∵，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，前10项的和为10100=S解11022101010010221029101010011010100110-=-⋅++=∴+=--=∴=⨯⨯+⨯∴）（又，S D S S S D D4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=->∴>+∴>+=d d d d a aa a a S d d d a 从而又②最大。

，6677137612000130)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=练习一、 选择题1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（A ）A ．15B ．30C ．31D ．64151212497=∴+=+a a a a a 解：二、解答题2． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2)1(1d n n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n 3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n na n S ①求证：数列{}n a 是等差数列②求数列{}n a 的通项公式 ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵1)1)(1(21-++=n n a n S []nn n n n n n n n n nn n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=-=∴-++=∴+++++++++++整理得， nn n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2∴数列{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}122)1(3)1(2251211212+=⋅-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列 ③)32)(12(111++=+n n a a n n 61)32131(21)32112171515131(2132112121<∈+-=+-+++-+-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为61。

等比数列知识要点1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠qq ，（。

2． 递推关系与通项公式 mn m n n n nn q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：1113． 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前n 项和公式 )1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q q a a q q a q na S n n n5． 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若反之不真！②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a q m n m n n mnm n ，③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

④ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c c n a ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列；②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列；④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

练习：1． 103107422222)(++++++=n n f 设)18(72)18(72)18(72)18(72)()(431----∈+++*n n n n D C B A D n f N n ．．．．）（等于，则2． 已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，70猜想：{}n b 是等比数列，公比为21。

证明如下：∵4121412121-=-=++n n n a a b nn n b a a 21)41(2141)41(211212=-=-+=-- 即：211=+n n b b ，∴{}n b 是首项为41-a ，公比为21的等比数列。

二、性质运用例1：在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=解：⑴①由等比数列的性质可知： nn n a q q a a a a a a a a a a a a --=⋅==∴====>=+=⋅=⋅6151661616143612)21(32213213211323332所以，，即所以，解得，又②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为2lg 2)11(2)lg (lg 2lg 5lg 2lg )6(2lg lg 116n n n a a T a n a n n n n -=+==-==-所以，典例精析一、 错位相减法求和 例1：求和：n n an a a a S ++++=32321 解：⑴2)1(3211+=+++==n n n S a n 时， ⑵01≠≠a a 时，因为n n an a a a S ++++=32321 ① 1321211++-+++=n n n a n a n a a S a ② 由①－②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=----=---=-+++=-++)1)1()1()1()1(2)1()1()1()1(11)11(1111)11(22112a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n aa aan a a a S a n n n n n n n n n n n 综上所述，所以点拨：①若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求数列{}n n b a ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法；②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；③当将n S 与q n S 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。