导数的计算一、考点热点回顾教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式．几个常见函数的导数探究1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x ∆+∆-+∆-===∆所以00lim lim11x x yy x ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．探究3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．探究4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆探究5．函数()y f x ==的导数因为()()y f x x f x x x x ∆+∆-==∆∆∆==所以0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=二、典型例题1．下列各式正确的是( )A. (sin α)′＝cos α(α为常数)B. (cos x )′＝sin xC. (sin x )′＝cos xD. (x －5)′＝－15x －6【答案】C【解析】由导数运算法则易得，注意A 选项中的α为常数，所以(sin α)′＝0. 选C 2．下列求导运算正确的是（ ） A. '1(2)=2x x x -⋅ B. 2'211()2x x x x-=-C. '(3)3x xe e = D. ()'2cos sin ()cos cos x x x xx x -= 【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：()2'2ln2x x =⨯， 2211'2x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ()3'3x x e e =， ()2cos sin 'cos cos x x x x x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.3．已知()3ln3xf x =+，则()f x '等于( )A. 3xB. 13ln33x +C. 33ln3x x +D. 3ln3x 【答案】D【解析】由题意结合导数的运算法则有：()()()'3'ln3'3ln303ln3x x x f x =+=+=.本题选择D 选项.4．函数()()21f x x =+的导函数为（ ）A. ()1f x x '=+B. ()21f x x '=+C. ()2f x x '=+D. ()22f x x '=+ 【答案】D【解析】因为()()22121f x x x x =+=++，所以()22f x x '=+，应选答案D 。

5．已知函数()()36,1xf x xg x e =-=-，则这两个函数的导函数分别为 ( )A. ()()263,xf x xg x e ''=-= B. ()()23,1xf x xg x e '=='--C. ()()23,xf x xg x e ''=-= D. ()()263,1xf x xg x e '=='--【答案】C【解析】由导函数的运算法则可得若函数()()36,1xf x xg x e =-=-，则这两个函数的导函数分别为()()23,xf x xg x e ''=-= .本题选择C 选项.6．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 7．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1. 8．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( ) A ．10 B ．－5x 23C ．5D ．－10解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D.9．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ， ∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 10. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.11．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4. (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.(4)y ′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.三、课堂练习1．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.答案：1ex －e y ＝02．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________. 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x ，所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1.答案：13．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2)4．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程． (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523B.110523C.25523D.110523 解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.6．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.7．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x 2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．8．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B.9．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝010．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.答案：411．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)， 即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0， ∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.12．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.导数的运算法则（一）导数的加减法运算法则：1．[]='±)()(x g x f 2．[]='+c x f )( 3、导数的加法与减法法则1．导数的加法与减法法则的推导 令)()()(x v x u x f y ±==，[][])()()()(x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆+∆=xv x u x y ∆∆±∆∆=∆∆∴， 所以xyx ∆∆→∆0lim 0lim→∆=x （xvx u ∆∆±∆∆） 0lim→∆=x x v x u x ∆∆±∆∆→∆0lim)()(x v x u '±'=即v u v u y '±'='±=')(说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。