y = C1e r1x + C2 e r2 x y = (C1 + C2 x )e rx y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx )
2、 n 阶常系数线性齐次微分方程： y ( n ) + p1 y ( n −1) + ⋯ pn y = 0 ，通解如表： 特征方程 r n + p1r n −1 + pn = 0 的根
O
b a
yy = f ( x)Fra bibliotekaVx = ∫ π y2dx = ∫ π [ f ( x)] dx. ； Vy = ∫ 2π ⋅ x ⋅ ydx = ∫ 2π ⋅ x ⋅ f ( x)dx.
2
b
b
b
图6-10
b
x
a
a
a
y d x = ϕ ( y)
② 由曲线 x = ϕ ( y ) ，直线 y = c, y = d (c < d ) 与 y 轴所围成的曲边梯形 分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积分别为：
y y = f (x)
β
AD = ∫∫ dσ
D
1、直角坐标的情形
y x = ϕ (y)
α
y
y = f (x)
O a
O a
x
b y = g (x)
图 6-3
b
x
b
x
O
图 6-1
图 6-2
A=
∫a f ( x)dx
y
b
A=
∫
β
ϕ ( y )dy
α
A=
∫ a [ f ( x) − g ( x)]dx
x =ψ ( y)
c
Vx = ∫ 2π ⋅ y ⋅ xdx= ∫ 2π ⋅ y ⋅ ϕ( y)dy； Vy = ∫ πx dx = ∫ π [ϕ( y)] dy
2 2
d
d
d
d
x
图6-11
c
c
c
c
O
3
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2、截面面积已知的立体的体积 设经过点 x 且垂直 x 轴的平面截立体所得截面的面积为 A( x ) ， 则立体的体积为： V = 三、曲线弧的弧长 方法一：利用对弧长的曲线积分的性质 1、平面曲线弧 L 的弧长： sL = ds
5、全微分方程： P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0 或
dy P ( x, y) ∂Q ∂P =− （其中 = , ( x, y ) ∈ D ） dx Q ( x, y ) ∂x ∂y
∂Q ∂P ∂u ∂u = ⇔ ∃u = u ( x, y ) ，使得 du = Pdx + Qdy ，即 = P, = Q ；通解： u ( x, y) = C ∂x ∂y ∂x ∂y
*
y′′ + py′ + qy = f ( x) 的通解
⎧k = 0, λ不是特征根 ⎪ ① f ( x ) = e Pm ( x ) 时，则可设 y = x e Qm ( x ), ⎨ k = 1, λ 是特征单根 ，代入原方程可确定 Qm ( x ) 的系数； ⎪ k = 2, λ是特征重根 ⎩
y
x
y
（2）求 u ( x, y ) 解法二（偏微分法） ①（I）因为
∂u = P ，则可设 u ( x, y ) = ∫ P ( x, y ) dx + ψ ( y ) ∂x ∂u ∂ ∫ P ( x, y ) dx ∂u = Q ，所以 = +ψ ′( y ) = Q ( x, y ) ⇒ 可求ψ ( y ) ⇒ 可求 u ( x, y ) ∂y ∂y ∂y
通解解法： （I）令 u =
（II）分离变量两端积分得：
∫
du dx 1 = ∫ ，即 Cx = e F ( u ) ，其中 F ′(u ) = f (u ) − u x f (u ) − u
y
F( ) y （III）把 u = 带入得原方程通解： Cx = e x x
3、一阶线性微分方程： 4、Bernoulli 方程：
x = ϕ (y)
y
A=
∫
b a
f ( x) dx
y = f (x)
O x
图
O a
图 6-5
bx
A=
2、极坐标的情形
∫ [ϕ ( y) −ψ ( y)]dy
α
β
r = ϕ (θ )
r = ϕ (θ )
r = ϕ 2 (θ )
O x
r =ϕ
1
(θ )
r = ϕ 2 (θ ) x
O
β α O x
β
O
r = ϕ 1 (θ )
（1）求 u ( x, y ) 解法一（曲线积分法）取一定点 (x0 , y0 ) ∈ D ，则 ① u ( x, y ) =
∫
x
x0
P (x, y0 )dx + ∫ Q (x, y )dy 或者② u ( x, y ) = ∫ P (x, y )dx + ∫ Q (x0 , y )dy
y0 x0 y0
三、高阶线性微分方程 1、二阶常系数线性齐次微分方程： y ′′ + py ′ + qy = 0 ，通解如表： 特征方程 r + pr + q = 0 的根 两不等的实根 r1 ≠ r2 两相等的实根 r1 = r2 = r 一对共轭复根 r1 ,2 = α ± β i
2
y′′ + py′ + qy = 0 的通解
k 重实根 r k 重共轭复根 r1 ,2 = α ± βi
(
)
[(
)
(
)
*
]
3、二阶常系数线性非齐次微分方程： y ′′ + py ′ + qy = f ( x) 设 y 为 y ′′ + py ′ + qy = f ( x) 的一个特解， Y 为所对应齐次方程 y ′′ + py ′ + qy = 0 的通解，则 y = y + Y 为
（II）回代得 p = 解法： （I）令 y ′ = p ( y ) ①，则 y ′′ = p （II） 回代得 p =
dp dp ②，把①②带入原方程得 p = f ( y, p ) ，设其通解为 p = ψ ( y , C1 ) dy dy
dy dy dy 分离变量两端积分： ∫ 所以原方程的通解为 ∫ = ψ ( y, C1 ) ， = ∫ dx ， = x + C2 dx ψ ( y, C1 ) ψ ( y, C1 )
b a
∫ [ϕ ′(t )] + [ψ ′(t )]
2
b
2
dt
a
② L : y = f ( x) (a ≤ x ≤ b) ,则： s =
∫ ∫
∫
b ⎛ dy⎞ 2 1+ ⎜ ⎟ dx = ∫ 1+ [ f ′( x)] dx a ⎝ dx⎠ b ⎛ dx⎞ 2 1+ ⎜ ⎜ dy⎟ ⎟ dx = ∫a 1+ [g′( y)] dy ⎝ ⎠
dp dp ②，把①②带入原方程得 = f ( x, p ) ，设其通解为 p = ϕ ( x, C1 ) dx dx
1
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dy = ϕ ( x, C1 ) ，所以原方程的通解为 y = ∫ ϕ ( x, C1 ) dx + C2 dx 3、 y ′′ = f ( y, y ′) 型，特点：隐含 x ；
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常微分方程
知识点总结：
一、一阶微分方程 1、变量可分离的：
dy f ( x) = ；通解解法：分离变量两端积分 ∫ g ( y ) dy = ∫ f ( x ) dx dx g ( y )
2、齐次方程：
dy y = f ( )； dx x y dy du du ①，则 ②，把①②带入原方程化为： u + x =u+ x = f (u ) x dx dx dx
x u( x)
∫
a
f (t )dt ⇒ Φ′( x) = f ( x) ；② Φ( x) = ∫
2
v( x)
f (t )dt ⇒ Φ′( x ) = f [u ( x )]u′( x) − f [v ( x )]v′( x)
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定积分的应用
知识点总结：
一、平面图形 D 的面积 方法一 方法二 利用二重积分性质： 利用定积分
（II）又因为
[
]
二、高阶可降阶的微分方程 1、 y ( n ) = f ( x ) 型；通解 y = ⋯ f ( x )dx ⋯ dx + C1 x n −1 + C 2 x n −2 + ⋯ + C n
∫ ∫
2、 y ′′ = f ( x, y ′) 型，特点：隐含 y ； 解法： （I）令 y ′ = p ( x ) ①，则 y ′′ =
α
图 6-6
图 6-7
x
图 6-8
图 6-9
A=
1 2
2 ∫ α [ϕ (θ )] dθ
β
A=
1 2
∫ [ϕ
β α
2
2 (θ )
− ϕ12 (θ ) dθ
]
A=
1
[ϕ (θ )]2 dθ ∫ 0 2
2π
A=
1 2
∫ [ϕ (θ ) − ϕ (θ )]dθ
0 2 2 2 1
2π
二、体积 1、旋转体体积 ① 由曲线 y = f ( x) ，直线 x = a, x = b(a < b) 及 x 轴所围成的曲边梯形 分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积分别为：