向量 C
x
(位移)向量
虽然多数时候向量纯粹表达方向，但事实上它还带有
长度的信息，向量{x,y,x}在3D空间的长度 是 。故，可以把向量理解为在一个方向 上长度为 的位移。 例如两点之间的距离向量，就是一个典型的位移向量。
我们通常结合上下文，来判断向量是纯粹方向的还是
位移的向量。
向量的基本运算：加法
坐标系的转换和矩阵
后续的内容主要记录World坐标系转换之后的Camera
坐标系，Projection坐标系的转换。
接下来记录的转换矩阵推导，是用DirectX来举例。事
实上，这些推导过程在OpenGL上也是一样的，如果 有差别，也是一些数值上的细微差别，例如DirectX的 远近裁剪面定为[0~1]，而OpenGL的定为[-1~1]。
太少了，列举不出来呀。
坐标系的转换
抄录自MSDN，Transform pipeline
Wiki
Transform pipeline，/en-
us/library/windows/desktop/ee418867(v=vs.85).aspx
达两者，但它们在数值层面是一致的。 因方向向量的核心是方向，故两个方向向量的x,y,z数 值可能不同，但方向却是一样的，我们认为这两个方 向向量等价。
点和(方向)向量
方向向量C和B
等价，因它们表达 的方向是相同的。 数值上点A和向量 B相等，但物理意义 不同
y
z
点A{5,2,6} 向量B {5,2,6}
注意到上式左边是叉乘结果向量的模的平方，所以对
等式两边开平方，即得：
上式便是关于叉乘的模的等式。至此，我们知道叉乘
会得到一个垂直于原来两个向量（以及它们所在平面） 的向量，且这个向量的长度满足上述等式。但仍有一 个问题：这个垂直向量朝向那个方向呢？
叉乘
y z
向量C
向量A 向量B x
叉乘向量的方向
DirectX View Matrix推导
运算过程：
注意运算时采用的是齐次坐标，
各个分量取值 是基于Camera坐标系的，它们相对的原点是Camera 坐标系的原点，也即是观察者眼睛的位置。 下面我们推导View 矩阵。
DirectX View Matrix推导
推导View矩阵分两步，首先确立Camera坐标系，也即
x
向量的基本运算：减法
向量的减法法则定义为：
减法结果还是一个向量，从数值上看，结果向量的每
一个分量均“变小”了（严格来说这取决于b的符 号）。
减法
向量A减向量B，先把A
y z
或者B平移（在A和B所确 定的平面上平移），使得 A和B成首首相接
向量B
向量A
x
减法
• 平移向量A到 y 向量A’，由于是 A-B，所以连接B 向量A’ 的尾部到A’的尾部， 向量B 使得结果向量指向 被减数，所得的向量 即是A-B • 平移向量B也能得到同样的结果
可以用xyzzy方法记忆叉乘公式：其中xyz表示3个轴的
坐标值， 简单起见设左边第一个向量为A，第二个为B， 右边的结果向量为C，依照xyzzy：
接着求
，需要按照x->y->z->x的规则变换xyzzy成 yzxxz，得： 同样可以求得
叉乘
和点乘比较，点乘得到的结果是一个标量，但叉乘得
顶点P
Camera坐标系
Camera坐标系是人眼观察World坐标系时，以人眼为
原点，视线方向为Z轴建立的新坐标系，这个坐标系 以观察者（眼睛）为中心，为视野裁剪和投影等做好 铺垫。随着观察者眼睛位置的变化，或者视线方向的 变化，Camera坐标系也同时变换。
Projection坐标系
Projection即投影坐标系基于Camera坐标系变换而来
向量的加法法则定义为：
加法结果还是一个向量，从数值上看，结果向量的每
一个分量均“变大”了（严格来说这取决于b的符 号）。
加法
向量A加向量B，先把A
y z
或者B平移（在A和B所确 定的平面上平移），使得 A和B成首尾相接
向量A 向量B x
加法
平移向量A得到
y
z 向量C 向量A’
向量A’，这样向量B 向量A 和向量A’首尾相接， 向量B 连接向量B的起点 和向量A’的终点， 即可得到结果： 向量C。 平移向量B也会得到同样 的结果。
z
向量C 向量A
x
向量的基本运算：点乘
Dot Product,又叫点乘或点积，定义为：
如上式所示，点乘的结果是一个标量。后面我们将要
证明该标量和 相关，其中 是这两个向量的夹角， 也即是说，从两个向量点乘的结果能得出它们之间的 夹角。这就是点乘的价值所在。
点乘的证明
y z 向量A 向量B x 向量C
左手和右手坐标系
坐标系和坐标系转换
3D模型从建模到渲染最后阶段——输出到屏幕需要经
历多个坐标系，从一个坐标系到另一个坐标系则需要 一个转换过程。这个过程是由一个转换矩阵来实施的。
本节简要记录一些关键坐标系（坐标空间），和相应
的转换说明，然后以DirectX为例，记录和推导几个重 要的转换矩阵。
向量和矩阵变换
Linguohua 2012/7/11
说明
主要是为了备忘，本文记录了我学习向量和矩阵过程
中遇到的一些基础知识以及数学证明。
数学证明大多是我自己的想法，所以一些过程并不是
最简的，原因之一是我在空间和微分几何方面的知识 积累甚少。如果你有更简单的方法，请让我知道。
说明
先记录向量和向量的运算，以及点乘和叉乘的证明。 然后简要记录若干个重要的坐标空间。 接着详细推导View矩阵和Projection矩阵。 最后是记录DirectX的一个旋转立方体的Tutorial。
别求三个向量的模并代入余弦定理得：
等式的|A|和|B|表示向量的模。 化简等式即可得到直观的结果，见下页
点乘的证明
化简前面等式得到：
上式左边即是点乘的定义。至此，我们看出点乘和
成正比， 可用下式表示：
其中
是向量A和向量B的点乘，而 量的模的乘积。
是两个向
点乘的证明
因此，如果两个向量的点乘结果是零，可知它们相互
左手和右手坐标系
在3D空间中存在这样的两种坐标系，不管怎么翻转，
都不能从一种坐标系变换到另一种坐标系。这两种坐 标系我们用左手坐标系和右手坐标系来称呼和区分它 们。 DirectX常用左手坐标系，OpenGL则惯用右手坐标系。 不要担心，事实上他们的x,y坐标轴完全一样，只是z 轴一个向里，一个向外。如下图所示：
坐标系的转换和矩阵
任意两个坐标系的转换都经由一个转换矩阵完成。例
如从Model坐标系到World坐标系，需要经过World转 换矩阵进行变换。 World矩阵主要用于伸缩，平移，和旋转。伸缩/平移 较为直观，而旋转会有几种方式，例如构造矩阵旋转， 或欧拉角旋转，或四元数旋转。限于篇幅就不详细记 录了。将来如有需要，再单独记录。
DirectX View Matrix推导
从World坐标系转换到Camera坐标系需要一个转换矩
阵帮忙，这个矩阵叫View矩阵。
DirectX View Matrix推导
View矩阵是一个4X4的矩阵，作用是将顶点从World
坐标系转换到Camera坐标系。 Camera坐标系是一个这样的坐标系：以眼睛的位置为 原点，视线方向为Z轴的一个坐标系。新坐标系的X轴 朝向观察者的右手方向，Y轴朝向观察者头顶方向。 在World坐标系的顶点 经过View矩阵转换后， 得到一个位于Camera坐标系的新坐标。
由上面两式和点乘的性质，得知叉乘的结果向量和原
来的两个向量都垂直。我们知道原来的两个向量确定 了一个平面，也即是说叉乘的结果向量垂直于这个平 面。这就是叉乘的重要几何意义。 下面我们分析叉乘结果向量的模。
叉乘结果向量的模
由点乘公式： 等式两边平方，然后用三角等式
代换后
并整理得到：
叉乘结果向量的模
一起组成一张场景，场景的坐标系就是World坐标系， 这就像我们现实世界一样。一个模型放置到World坐 标系之后，它的顶点坐标值就需要从Model坐标系转 换为World坐标系中的值。如下页图示：
World坐标系
Model坐标系和World坐标系 顶点P在Model坐标系
中的值和在World坐标系 中的值是不同的
DirectX View Matrix推导
我们知道叉乘得到一个垂直于原来两个向量的新向量，
3D图形学中常用这种方式求垂直于平面/三角面/多边 形等的向量。例如法线（凹凸）贴图时，需要求出垂 直于顶点的法线。
Wiki
叉乘和点乘都是由Josiah Willard Gibbs在1881年提出
的。 Dot product: Scalar product, /wiki/Dot_product Cross product: Vector product, /wiki/Cross_product
如上图所示，向量C方向朝上还是朝下（注意：不管
朝向如何，它终归都会垂直于原来的两个向量）？
一个简单的判断方法，见下页的图示。注意如果是左
手坐标系，就用左手，如果是右手坐标系，那么需要 用右手。
叉乘向量的方向
点乘和叉乘用途
至此，我们知道点乘得到一个标量，这个标量跟原来
两个向量的夹角相关。所以，在3D图形学中常通过两 个向量的点乘得到它们之间的夹角。
说明
写记录最艰难莫过于公式编辑了，每一个数学式子，
都是从Word里面用公式编辑器编辑好，再复制过来， 更悲剧的事情是PPT貌似不支持公式，它把复制过来 的公式直接变成图片了。 可见我是多用心。