n
nn
2 分布
22
(xii x)22
ii11
22
ns22 22
此时 22分布的自由度df n 1
F 分布 F UU vv11 VV vv22
第七章参数估计
平均数区间估计的计算
① 总体正态，σ已知（不管样本容量大小），或总
体非正态，σ已知，大样本※
平均数离差的的抽样分布呈正态，平均数的置信区间
H0 为假
正确决策 概率=1-β=统计检验力
II 类错误，概率=β
断 实际 无信号
有信号
判 有信号
虚报 击中
无信号
正确否定 漏报
双侧检验与单侧检验(假设的形式)※
假设
双侧检验
单侧检验 左侧检验
右侧检验
原假设
H0 : m = m0 H0 : m m0 H0 : m m0
备择假设
H1 : m ≠m0 H1 : m < m0 H1 : m > m0
分布形态
F：
F
S12 S22
自由度：df1=n1-1
建立假设：
虚无假设：
2 1
2 2
备选假设：
2 1
2 2
df2=n2-1
df=n-2（相关样本，查 T 表）
F 分布
独立样本 T 分布※
相关样本
抽样分布的标准误:柯克兰-柯克斯 t 检
t
X1 X 2
S12
S
2 2
n1 1 n2 1
近似临界值的计算
t
SE 2 X1
tdf1 SE 2
SE2 X2
SE2
tdf2
X1
X2
t
S12 / n1 1 tdf1 S22 / n2 1 tdf2
S12
/n1
1
S
2 2
/n2
1
df1 n1 1
df2 n2 1
两总体非正态，n1 和 n2 大于 30（或 50）
Z X1 X 2 SEDX
在 0.05 显著性水平拒绝 H0，接受 H1
非 常 显 著 ＊在 0.01 显著性水平拒绝
＊
H0，接受 H1
显著性 不显著
检验结果 保留 H0，拒绝 H1
t(df)0.05≤∣t∣＜t(df)0.01
0.05≥P＞0.01
显著＊
在 0.05 显著性水平 拒绝 H0，接受 H1
∣t∣≥t(df)0.01
(1 ) / 2
三、两总体方差之比的区间估计
根据 F 分布，可估计二总体方差之比的置信区间
1 F / 2
s2 n11
s2 n 21
2
1
2 2
F
/
2
s2 n11
s2 n 21
第八章假设检验※ 决策 拒绝 H0
H0 性质
不拒绝 H0
H0 为真
I 类错误 概率=α=显著性水平
正确决策 概率=1-α=显著性水平
计算平方和※
总平方和：
k nj 2
k
SST
j1
n xi2j j1
i1
xij
i1
N
组间平方和
k
SSB
j1
nj 2
xi
k
i1 j1
nj
nj 2
xi
i1
N
组内平方和
kn
k
SSW SST - SSB
xi2j
j1 i1
j 1
nj 2
xi
i1
百分位数的计算方法：
Pp 为所求的第 P 个百分位数 Lb 为百分位数所在组的精确下限 f 为百分位数所在组的次数 Fb 为小于 Lb 的各组次数的和
N 为总次数 i 为组距
百分等级:
PR
ห้องสมุดไป่ตู้100 n
Fb
f ( X Lb )
i
四分位差：a 未分组数据 Q Q3 Q1
b 分组数据
2
二．平均差 1. 原始数据计算公式：※AD X X
❖ 方差分析中的方差齐性检验，常用哈特莱
（Hartley）所提出的最大 F 值检验法，其计
算公式为
Fm a x
S2 max
S2 m in
各组容量不等时，用最大的 n 计算自由度：
df n 1
方差分析的基本步骤：※
建立假设：
虚无假设： u1 =u1……=uk；
备选假设： 至少两个总体的平均数不相等；
X
Y
SY
Y
n
r X X Y Y n SX SY
积差相关系数的原始数据计算公式
r
XY X Y / n
X 2 X 2 Y 2 Y 2
n
n
r
nXY X Y
nX 2 X 2 nY 2 Y 2
N 为被评价事物的数目，即等级数；
K 为评价者的数目；
rij 为对偶比较记录表中 i>j(或 i<j)格中的择优分数。
f
Xc
2
n n
S f X c 2 f X c 2 n n
总标准差的合成:
ST2 ST
ni Si2 ni X T Xi 2 ni Si2nini X T X i
ni
2
四．相对差异量※
差异系数 CV
S
100%
X
标准分数(基分数或Ｚ分数)
Z XX S
或
Z X
第六章 概率分布
n
f Xc X 2. 次数分布表计算公式：AD
n
三．方差和标准差的定义式：※
2
S2 X X n
2
S XX n
原始数据导出公式
S2
X
2
X
2
n n
S X 2 X 2 n n
次数分布表计算公式
S 2
f (Xci X )2
n
S
f (Xci X )2
n
导出公式
S2
f
Xc2
2）独立样本平均数差异的显著性检验
检验步骤：
建立假设：虚无假设：u1=u2（或 uD=0）；备选假设： u1u2 （或 uD 0）；
选择检验统计量并计算 Z 分布
Z
X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较 Z’与 Z，从而确定该样本的 P 是否为小概率，即是否 P<0.05。 2．两总体正态，两总体方差未知 ⑴ 两样本相关 t 检验 检验步骤：
y / f (x)
N
e
X 2 2
2
2
y= 概率密度，即正态分布的纵坐标 = 理论平均数 = 理论方差 = 3.1415926; e = 2.71828（自然对数） x = 随机变量的取值 (- < x < )
标准正态分布
将正态分布转化成标准正态分布的公式※
Z X ~ N (0,1)
n
⑵两样本独立
Z X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
⑴相关样本的平均数差异检验
建立假设：虚无假设：u1=u2（或 uD=0）；备选假设： u1
选择检验统计量并计算 Z 分布 确定检验形式 双侧
Z
X1 X2
2 1
2 2
2 r 1
2
n
u2 （或 uD
0）；
单侧
进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较 Z 与 Z，从而确定该样本的 P 是否为小概率，即是否 P<0.05。
后验概率： W A
m n
先验概率
P A
m n
概率的加法定理※
P( AB) PA PB
P( A1 A2 An ) PA1 PA2 PAn
概率的乘法定理※
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
正态分布曲线函数（概率密度函数）
公式：
双侧 Z 检验统计决断规则※
∣Z∣与临界值比较
P值
显著性 检验结果
∣Z∣＜1.96 1.96≤∣Z∣＜2.58
P＞0.05 0.05≥P＞0.01
∣Z∣≥2.58
P≤0.01
单侧 t 检验统计决断规则※
∣t∣与临界值比较
P值
∣t∣＜t(df)0.05
P＞0.05
不显著 保留 H0，拒绝 H1
显著＊
分解自由度※ 总自由度可以分解为组间、区组和误差自由度
dfT dfB dfR dfE
总自由度 dfT nk 1
组间自由度 dfB k 1
区组自由度 dfR n 1
误差自由度 dfE dfT dfB dfR
计算方差 组间方差
区组方差
误差方差
MS B
SSB dfB
MS R
SSR dfR
点二列相关
rpb
X
p Xq St
•
pq
二列相关 四分相关
rb
X
p X St
q
•
pq y
rt cos
ad
bc
bc
rt
c os
1
1800 ad
bc
Φ相关系数计算公式※
r
ad bc
a bc d a cb d
列联表相关
C
2 n 2
方差分析的目的是要分析观测变量的变异是否 主要是由控制因素造成还是由随机因素造成的， 以及控制变量的各个水平是如何对观测变量造 成影响的。 当 F 值较大时，说明由控制因素造 成的变异显著大于随机因素造成的，也就是说不 同水平下的各总体均值有显著差异
随机区组设计的方差分析将变异来源分解为组间变 异、区组变异和误差变异三部分：