第四章曲线运动第一节曲线运动一、曲线运动1.概念运动轨迹(路径)是曲线的运动。

2.特点（1）某点瞬时速度的方向沿轨迹上这一点的切线为向，（2）速度方向时刻在改变所以是变速运动，必有加速度，合力一定不为零，可能是恒力，也可能是变力。

加速度可以是不变的-------匀变速曲线运动，如平抛运动加速度可以是变化的-------变加速曲线运动，如圆周运动【例】做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是( )A速率 B．速度 C．加速度 D．合外力【例】(多选)下列对曲线运动的理解正确的是( )A．物体做曲线运动时，加速度一定变化B．做曲线运动的物体不可能受恒力作用C．曲线运动可以是匀变速曲线运动D．做曲线运动的物体，速度的大小可以不变3.合力与轨迹，速度的关系(1)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的"凹“侧.【例】如图所示，一质点做曲线运动从M点到N点速度逐渐减小，当它通过P点时，其速度和所受合外力的方向关系可能正确的是（）A． B． C． D．(2)速率变化情况判断：当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大；当合力方向与速定方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小；当合力方向与速度方向始终垂直时，物体的速率将保持不变。

4.物体做曲线运动的条件(1)条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上.二、运动的合成与分解（指位移、速度、加速度的分解与合成）1.合运动：物体相对地面的真实运动。

2.分运动：物体同时参与的两个方向的运动。

3. 运动的今成：已知分运动求合运动的过程。

运动的分解：已知夺运动求分运动的过程。

原则：平行四边形定则、三角形定则、正交分解。

4.分运动与合运动的关系1)独立性 (2 )等时性 (3 )等效性 (4 )同时性【例】蜡块能沿高度为H的玻璃管匀速上升(如图甲所示)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动了L的距离(如图乙所示)，则：(1)蜡块在竖直方向做什么运动在水平方向做什么运动(2)蜡块实际运动的性质是什么(3)求t时间内蜡块的位移和速度.【例】如图所示为某人游珠江，他以一定的速度且面部始终垂直于河岸向对岸游去．设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是（）A．水速大时，路程长，时间长B．水速大时，路程长，时间不变C ． 水速大时，路程长，时间短D ． 路程、时间与水速无关【例】飞机斜向上飞的运动可以看成水平方向和竖直方向两个分运动的合运动，如图所示，若飞机飞行速度v 的方向与水平方向的夹角为θ，则飞机的水平速度v x 的大小是（ ）A ．V cos θB ．V sin θC ．V cot θD ．v tan θ三、运动的合成与分解实例1.小船渡河模型小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

V 水v 船θv 2v 11．渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船d dt ==，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为v d，合运动沿v 的方向进行。

2．位移最小 若水船υυ>结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。

合速度v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据水船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为水船v v arccos=θ，船沿河漂下的最短距离为：θθsin )cos (min 船船水v d v v x ⋅-=此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos渡河航程最短有两种情况：①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速v2小于水流速度v l时，即v2<v1时，合速度v不可能与河岸垂直，只有当合速度【例题】河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河最短时间是多少(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河最短的航程是多少★【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（）(A)21222TTT-(B) 12TT(C)22211TTT-(D) 21TT★绳子末端速度的分解绳子末端速度的分解问题，是一个难点，同学们在分解时，往往搞不清哪一个是合速度，哪一个是分速度。

以至解题失败。

下面结合例题讨论一下。

解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

常见的模型如图所示。

【例】如图所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为v A，当OA绳与水平方向夹角为θ时，求：(1)车B运动的速度v B多大(2)车B是否做匀速运动【例】一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t，绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示，试求：(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物m在t时刻速度的大小．【例】如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是（）A. 加速上升，且加速度不断增大B. 加速上升，且加速度不断减小C. 减速上升，且加速度不断减小D. 匀速上升◍注：假设地面突然消失，则汽车将以定滑轮为圆心转动，即合运动有垂直于绳方向的效果。

沿绳方向的分速度是联系两个物体运动的桥梁。

规律方法1.明确分解谁一分解实际运动.2.知道如何分解一沿绳(杆) 方向和垂直绳(杆)方向分解.3.求解依据一因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆>方向的速变分量大小相年第二节平抛运动一、平抛运动1. 概念：物体以一定速度V0水平抛出，只受重力的作用。

2. 性质： a=g的匀变速曲线运动。

3. 处理方法分解：→水平方向：匀速直线运动↓竖直方向：自由落体运动【例】为了研究平抛物体的运动，我们做如下的实验：如图所示，A、B两球处于同一高度处静止．用锤打击弹性金属片，A球就沿水平方向飞出，同时B球被松开做自由落体运动，观察到两球同时落地．这个实验现象说明（）A．A球在水平方向做匀速运动B．B．A小球在竖直方向做自由落体运动C．能同时说明上述两条规律D．D．不能说明上述规律中的任何一条4.平抛运动的规律（1）速度关系：水平分速度V x= V0222222012s x y v t gt ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭竖直示速度V y =gtt 时刻物体的合速度大小：V= 方向：设V 与V o 的夹角为φ。

则（2）位移关系：在水平方向，X=V 0 t ；在竖直方向和位移方向：5.平抛运动的几个有用的结论①飞行时间：2ht g =由h,g 决定，与0v 无关。

②水平射程：2hx v g = 由h,g, 0v 共同决定。

③落地速度：v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，与水平方向的夹角tan α＝v y v x ＝2ghv 0，所以落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关。

【例】如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为 m ，水平距离为8 m ，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g ＝10 m/s 2)( )A． m/s B． 2 m/s C． 10 m/s D． 20 m/s二、平抛运动的两个重要推论推论Ⅰ做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻，任意位置处，设其末速度方向与初速度方向的夹角为φ，位移方向与初速度方向的夹为θ，则有推论Ⅱ做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时初速度方向位移的中点。

证明：专题平抛运动的四种模型模型一：斜面上的平抛运动问题（1）分解速度对着斜面的平抛运动如图所示方法：分解速度v x ＝v 0v y ＝gttan θ＝v 0v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ【例】如图，小球以15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．取g ＝10 m/s 2，tan 53°＝，求：(1)小球在空中的飞行时间；(2)抛出点距落点的高度．（3）分解位移顺着斜面的平抛运动如图所示，方法：分解位移x ＝v 0ty ＝12gt 2 tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg【例】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求小球刚碰到斜面时的速度方向及A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间．(g 取10 m/s 2)【例】如图所示，AB 为斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落在B 点，求：(1)AB 间的距离；(2)物体在空中飞行的时间．模型二半圆内的平抛运动如图所示，由半径和几何关系制约时间t ：h ＝12gt 2R±R2－h2＝v0t联立两方程可求t【例】如图所示，AB为半圆弧的水平直径，O为圆心。

从A点平抛出小球1和小球2，从B 点平抛出小球3，做平抛运动的轨迹如图所示，则三个物体做平抛运动的初速度v1、v2、v3的关系和三个物体做平抛运动的时间t1、t2、t3的关系分别是（）A．v3>v1>v2，t1>t2>t3B．v1>v2=v3，t2=t3=t1C．v1>v2>v3，t1>t2>t3D．v1>v2>v3，t2=t3>t1【例】如图所示，一个半径为R的半圆环ACB竖直放置（保持圆环直径AB水平），C为环上的最低点．一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力．则下列判断正确的是（）A．总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环的AC段B．总可以找到一个v0值，使小球垂直撞击半圆环的BC段C．无论v0取何值，小球都能垂直撞击半圆环D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环【例】(多选)如图，AB为竖直面内半圆的水平直径．从A点水平抛出两个小球，小球l的抛出速度为v1、小球2的抛出速度为v2．小球1落在C点、小球2落在D点，C，D两点距水平直径分别为圆半径的倍和l倍．小球l的飞行时间为t1，小球2的飞行时间为t2．则（）A．t 1=t2B．t1＜t2C．v1∶v2=4∶D．v1∶v2=3∶模型三对着竖直墙壁的平抛运动水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同。