于4~10倍以上，通常各种离散方法都能获得较好的逼真度。 • 设计者应在获得满意的连续域控制器后，交替试验几种等
效离散控制器，只有全部计算机数字仿真结果都满意时， 设计才算完成。 • 由于双线性变换法、预修正双线性变换法及零极点匹配法 具有较好的特性，通常会给出满意的结果，所以在设计时 应当是首先选用的。 • 应用举例 • 应用举例
等效连续传递函数： D e(s)D dc(s)esT/2
设计时常近似为
esT/2
1
1sT / 2
图4-2计算机控制系统等效连续结构
数字算法D(z)的等效
传递函数
6
7
2) 各种离散化方法
• 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函数 D(z) 。
• “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
T 22 2jcso in s(( D D T T//2 2))jT 2tan2 D T
z域角频率
19
3 双线性变换法(Tustin变换 )
2) 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
3) 频率畸变：双线性变换的一对 一映射，保证了离散频率特性不产 生频率混叠现象，但产生了频率畸变。
图4-11双 线性
s D(
1
1 ) A
相当于在原系统传递函数s
D(z) D(s)
s
1
z1
处引入一个比例因子：
tan(1T/2) z1
22
4 修正双线性变换
2 .主要特性
• 该方法本质上仍为双线性变换法，具有双线性变 换法的各种特性。
• 由于采用了频率预修正，故可以保证在ω1处连续 频率特性与离散后频率特性相等，但在其他频率 处仍有畸变。
28
29
5.2 数字PID控制器设计
• PID控制是控制系统中应用最广泛的一种控制规律。 • 在现代计算机控制系统中，PID控制算法将由计算
机软件实现。由于计算机软件的灵活性，利用计 算机实现PID控制具有许多优点。 • 本节主要内容
1 数字PID基本算法 2 数字PID控制算法改进 3 PID调节参数的整定
9
1.一阶向后差分法
1) 离散化公式
•实质是将连续域中的微分用一阶向后差分替换．
D(z) D(s) s1z1 T
D (s) U (s)/E (s) 1 /s
t
du(t)/dte(t),u(t)0e(t)dt
d u ( t)/d t { u ( k T ) u [ ( k 1 ) T ] } /T •相当于数学中的矩形积分法，即以
z
1
2 T
s
2
17
梯形积分法
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•变换也是z变换的一种近似
z
e (Ts / 2) e (Ts/2)
z1T2s 1T2s
s 2 ( z 1) T ( z 1)
2.主要特性
1） s平面与z平面的映射关系
•当=0（s平面虚轴)映射为z平面
z
1 1
T
2 T
2
s s
1
24
5 零极点匹配法
2. 主要特性
1) 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增 益匹配，因此工程上应用不方便。
2) 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一 定稳定。
3) 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可 获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。
3. 应用
• 主要用于将连续控制器离散时，要求在某些特征 频率处，离散前后频率特性保持不变的场合。
• 例5-4
23
5 零极点匹配法
1. 离散化方法
特点
k (s zi)
D (s)m
(sp i) n
z esT
k 1 (z e ziT) D (z) m (z e p iT)(z 1 )n m
m
•零、极点分别按 z esT 匹配。
25
26
6 其他方法
1. z变换法（脉冲响应不变法）
D(z)D(z) ZZD D(s()s)
• 可以保证连续与离散环节脉冲响应相同。 • 由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生频率混
叠和其他特性变化较大，所以应用较少。
2. 带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
1esT
D(z)Z
•若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m
因子。
•确定D(z)的增益k1的有三种方法：
--按右式来匹配
D(s)s0D(z)z1
--若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
D(s)sD(z)z1
• --也可选择某关键频率ω1处的幅频相等，即
D(j1) D(ej1T)
变换的频 率关系
图4-12双线性变换频率特性失真
A
2 T
tanDT
2
当采样频 率较高
DT
足够小
A
2DT
T2
D
20
3 双线性变换法(Tustin变换 )
4) 双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s)s0D(z)z1 5)双线性变换后D(z)的阶次不变，
且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
3.应用
D(ej1T)D(j1)
1 A
2
1 tan 1T
T2
Tustin变换式
s 2 z 1 T z1
为实现上述要求，需将D(s/ω1) 平移到D(s/ωA)处，再做Tustin
s A 1T 2，zz 1 1tan( 1T 1 /2)zz 1 1
变换.因为
•传递函数D(s)，修正双线性变换为
D(s/A)
1 D(s)s2 0.8s1
稳定性判断：要求 (0)10.8TT2 1
D(z)s201.8s1s(z1)/T
。 ( 1 ) 1 ( 2 0 .8 T ) ( 1 0 .8 T T 2 ) 0
( 1 ) 1 ( 2 0 .8 T ) ( 1 0 .8 T T 2 ) 0
T2
z2(20.8T)z(10.8TT2)
1 T2
T12 2图4-8 向前差分法的映射关系
2) 若D(s)稳定，采用向前差分 法离散化，D(z)不一定稳定。 只有采用较小的采样周期T，方 能保证D(z)稳定。
15
2 一阶向前差分法
3. 应用
• 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。
• 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
例5-2 试用向前差分法离散下述传递函数
---零极点个数；
---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
注意：不同的离散化方法特性不 同. D(z)与D(s)相比，并不能保持 全部特性，并且不同特性的接近
程度也不一致。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
1
2
计算机控制系统
5.1 连续域-离散化设计
1) 连续域—离散化设计原理与步骤 2) 各种离散化方法
3
1) 连续域—离散化设计原理与步骤
4
•De(s)中的3个环节可近似描述如下：
① A/D输出与输入关系：
系统低通特性
R*(j)T 1n R(jjns) 采样频率较高
R*( j)1R( j)
T
s
D(s)
• 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。 • 保证连续与离散环节阶跃响应相同。 • 具有z变换法的一系列缺点，应用亦较少。
27
7 连续域--离散化方法小结
• 等效的离散控制器的暂态特性和频率特性与连续控制器相 应特性相比均有畸变，没有一个能够完全逼真。
• 畸变程度与采样频率、截止频率、系统的最高频率有关. • 如采样频率相对系统截止频率或最高频率取得较高，如大
T 2
1 T2
j j
T
2
T
2
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
sj
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
平面单位圆内 。
z
2
1 1
T 2 T 2
2 2
T
2
T
2
2 2
18
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•双线性变换将
--整个s平面左半部到z平面单
D(e jT ) s 0 2
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好
的特性，工程上应用较为普遍。
2) 2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要
用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散
• 例化5。-3
21
4 修正双线性变换
1. 离散化方法
• 预修正的目的是满足在某个选 定的关键频率ω1上:
14
2. 一阶向前差分法
2. 主要特性
1) s平面与z平面映射关系
•只有当D(s)的所有极点位于 左半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
z 1 T s (1 T ) j T
z2(1T)2(T)2
令 z 1 （单位圆）
1(1T)2(T)2
z12 1(1T)2(T)2 2 4(1T)2(T)2
11
1.一阶向后差分法
② 由上述映射关系可见，若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
③ 变换前后，稳态增益不变。