计算轴的动能和势能 1 l T I P ( x) 2dx 2 0 l n n I P ( x) i ( x)qi (t ) j ( x)q j (t ) dx
2 0 i 1 n n 1 mij qi (t )q j (t ) 2 i 1 j 1 j 1
0
l
设梁上分别受到分布力f(x,t)和 x xd 处的集中力F(x,t)
当梁上有虚位移
l 0
w( x, t ) i qi 外力虚功为
i 1
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
W f ( x, t ) F (t ) ( x xd ) w( x, t )dx
l f ( x, t )i ( x)dx F (t )i ( xd ) qi 0 i 1 n
T
0.5199 2 0 Al 0.7746
T
求梁的响应时，将位移写作假设模态的线性组合
i x w( x, t ) i ( x)qi (t ) qi (t )sin l i 1 i 1
1 l n n EI ( x) i( x)qi (t ) j ( x) q j (t ) dx 0 2 i 1 j 1
1 n n k1 i( xb )qi (t ) j ( xb ) q j (t ) 2 i 1 j 1
得到原来问题的模态向量
3 x ( x) sin 0.0681sin 2l 2l
(1)
x
(2) ( x) 0.1955sin
x
2l
sin
3 x 2l
例：等截面简支梁中部有集中质量，并受有集中力 设集中质量 M a 等于梁的质量
集中力的变化的频率
50 EI / Al 4
M AT dx
0
0 l
广义质量系数
广义质量矩阵
若梁上还有集中质量，如右图
则梁的动能为
1 l 1 2 T Aw dx mw2 ( xa ) 2 0 2 n 1 l n A( x ) i ( x )qi (t ) j ( x)q j (t ) dx 2 0 i 1 j 1 n n 1 m i ( xa )qi (t ) j ( xa )q j (t ) 2 i 1 j 1 n n 1 mij qi (t )q j (t ) 1 qT Mq 2 i 1 j 1 2 l 则质量系数为 mij A( x)i ( x) j ( x)dx mi ( xa ) j ( xa )
第六章 连续系统的离散化方法及近似解
连续系统的精确解只适用于简单构件形状和边界条件，关 于这些精确解的讨论和分析有助于理解连续体振动的基本 特征，也有助于构造近似解和检验近似方法的误差。 当构件形状复杂或边界条件复杂时，只能求近似解 各种近似方法的共同点是：将无限自由度系统离散为有限 自由度系统。离散的自由度数由取决于所要求的计算精度。 常用的近似解法大致分为两大类：物理离散法和函数展开法 物理离散法： 集中质量法 传递矩阵法 假设模态法 加权残数法
1 l T A( x )w2 dx 2 0
mij A( x)i ( x) j ( x)dx
l
1 l n n A( x ) i ( x )qi (t ) j ( x)q j (t ) dx 2 0 i 1 j 1 1 n n 1 mij qi (t )q j (t ) qT Mq 2 i 1 j 1 2
0
梁的弯曲势能
1 l V EI ( x )w2 dx 2 0 1 l n n EI ( x ) i( x)qi (t ) ( x)q j (t ) dx j 2 0 i 1 j 1
1 n n kij qi (t )q j (t ) 2 i 1 j 1
i ( x) 应该是实际的模态函数，但实际计算时，常无法得到，
所以通常以假设模态代替
i 1
假设模态一般为满足全部或部分边界条件（至少应满足位移 边界条件），但不一定满足动力平衡方程的试函数族
用假设模态法可以建立有限个广义坐标表示的动力学方程， 也可以直接利用能量法，即Rayleigh和Ritz法计算固有频率 。
W qT Q
(i 1, 2, n)
L T V
Lagrange函数
得到有限个广义坐标表示的动力学方程
(m q
j 1 ij
n
j
kij q j ) Qi
(i 1, 2,
n)
矩阵形式为
Mq Kq Q
连续系统的问题转化成了有限自由度问题 以上讨论是针对梁的弯曲振动，但该方法同样也适用于如 轴的扭转振动等其它形式的振动。以例说明
i 1
n
其中
mij m ji I P ( x)i ( x) j ( x)dx
0
l
1 l V GI P ( x)[ (x, t )]2dx 2 0
1 l n n GI P ( x) i ( x)qi (t ) j ( x)q j (t ) dx 2 0 i 1 j 1 n n 1 kij qi (t )q j (t ) 2 i 1 j 1
16l 3 22 768 EI
11l 12 21 23 32 768EI
3
768 EI
7
11
9
如此，可计算系统的固有频率 也可将梁简化成两个自由度或单自由度系统
在求得相应的质量矩阵和 柔度矩阵后，便可计算系 统的固有频率 计算结果可见下表
连续系统
自由度越多，计算精度越高；基频的精度要高于高频的精度； 频率的阶次越高，误差越大。 注：集中质量法的计算精度与梁的边界条件有关
例：设图示变截面轴一端固定，另一端自由 距固定端x处截面的二次极矩为
x I P ( x) I 0 1 2l
O
x
l
x
I 0 为固定端处截面的二次极矩
求：该轴扭转振动的前二阶固有频率
解：将轴的扭转振动写作假设模态的线性组合
( x, t ) i ( x)qi (t )
1 n n k2 i ( xc )qi (t ) j ( xc )q j (t ) 2 i 1 j 1
1 n n 1 kij qi (t )q j (t ) qT Kq 2 i 1 j 1 2
其中，刚度系数为
Kij EI ( x)i( x) j ( x)dx k1i ( xb ) j ( xb ) k2i ( xc ) j ( xc )
m1 m2 m3 m / 4
1 0 0 m M 0 1 0 4 0 0 1
各质点间有相同的弹性性质，可利用材料力学或结构力学知 识计算各点的柔度影响系数并由此得到柔度矩阵。 7l 3 9l 3 9 11 7 13 31 3 11 33 l 11 16 11 768 EI 768 EI
K - 2M 0
EI 2 39.4784 Al 4
解得
EI 3 68.9944 Al 4
正则特征向量
a (1) 0.5742 2 0 Al 0.0048
T
a (2)
0 2 (3) 1 a Al 0
0
l
k11 GI P ( x)[1( x)]2 dx 1.0503GI 0 / l
0
l
因此有
k11 G 1 1.7996 m11 l 2
若欲求前二阶频率，可取n=2，计算得到
0.3243 0.0380 M I 0l 0.0380 0.3806
函数展开法
有限元法
里茨法
兼有上面这两类方法的特点
§6.1 集中质量法
以等截面简支梁为例 设梁的长度为l 密度为 弯曲刚度为EI 截面积为A 则梁的质量为 m Al 将梁分为四段，再将每小段的质量平均分到该段的两端 支点处的质量不影响梁的弯曲振动 连续梁可用三个集中质量代替 得到图示的三自由度系统 系统的质量矩阵为
GI 0 K l
代入本征方程
K - 2M 0
1.0503 0.375 0.375 8.4525
G G 1 1.7723 2 4.7795 解得 2 l l 2 T (1) T (2) a 1 0.0681 并有特征向量 a 0.1955 1
1 T q Kq 2
Kij EI ( x)i ( x) j ( x )dx K EI T dx
0 l 0
l
广义刚度系数 广义刚度矩阵
显然M和K都是对称矩阵 若梁上还有弹簧支承，如下图
则梁的势能为
1 l 1 1 2 2 V EI ( x) w dx k1w ( xb ) k2 w2 ( xc ) 2 0 2 2
Qi qi qT Q
Qi f ( x, t )i ( x)dx F (t )i ( xd )
Q Q1 Q2
0 l
n
i 1
广义力
Qn
T
广义力列阵
系统的动能、势能及外力虚功为
1 T T q Mq 2
由Lagrange方程
1 T V q Kq 2 d L L Qi dt qi qi
其中
kij k ji GI P ( x)i( x) j ( x)dx
0
l
取一端固定另一端自由的等截面轴的模态函数为试函数
2i 1 x i ( x) sin 2 l