数 理 定理3 统
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi

| } 1
计 电 子
lim
n
P{|
1 n
(X1

X2

... X
n)

p
|
}
1
教
案
即
lim P{| nA p | } 1
武
n
n
汉 科 技
定理3表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A的概率p.
理
6
统
计
电 子
E( X ) 1 (1 2 3 4 5 6) 7
6
2
教 案
D( X ) E( X E( X ))2 (1 7 )2 1 (2 7 )2 1 (3 7 )2 1
26
26
26
武 (4 7 )2 1 (5 7 )2 1 (6 7 )2 1 1 [2 (2.52 1.52 0.52 )] 35
1 n
n i 1
[Xi

E( X i )] |
} 1(1)
案
武
证明:
由于X1,X2,...,Xn相互独立,故
D(
1 n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
D(Xi )
C n
汉 再由切比雪夫不等式,可得
科
技
学 院 数
p( X



)


2 2
, (14) p( X

数 理
D 169 13
系
概 E 100Ei 200, D(1 2 ..100) 1001.69 169
率
论 D 169 13
与
数 理 统
p(180 220) p( 200 220 180 20) p( 200 20)
论 0.7.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在6800和
与 数
7200之间的概率?
理 统
在上二节中我们计算它的概率为0.95.现在利用局部定理
计 E 10000 0.7 7000
电
子 D npq 10000 0.7 0.3 2100
教 案
np 10000 0.7 7000.
学 院
定理3以严格的数学形式表达了频率的稳定性.因此在实际应用
数
理 系
中,当n很大时,我们可用事件的频率来代替概率.
概
例1 设 X 是抛一颗骰子所出现的点数，若给定X =1，2，
率 论
实际计算 p( X E(X ) )，并验证切贝谢夫不等式成立。
与 分析：因为X 的概率函数 数
p(X k) 1 , (k 1,2,..6)
汉
26
26
2 66
12
科
技
学
院
数
理
系
概
率 论 与
p( X 7 1) 4 1 2 . X 1,2,5,6时满足不等式。
2
63
数
理 统 计
p( X 7 2) p( X 1) p( X 6) 1 1 1
2
66 3
电 子 教
X

1,
D(

X
2
)
35 12

0.2013
教 案
(2)用局部定理
武 汉 科
p( 3)
1 npq
0(k
np) npq

1 1.265

0
( 32 1.265
)

1 1.265
0 (0.79)

0.2308
技
学 院
如果n大于50,则误差就不会产生.
数
理
系
概 率
例3 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是
武 汉
的二项分布.用贝努里公式
科
技
学
院
数
理
系
7200
概 率 论 与
p(6800 7200 )
Ck 10000

0.7k

0.310000k
k 6800
用切贝谢夫不等式估计
数 E np 10000 0.7 7000
理 统
D npq 10000 0.7 0.3 2100
子
教 量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时是趋向正态分
案 布的。
武 汉
此后林德伯格又成功地找到独立随机变量和的分布，当随机
科
技 学
变量的个数无限增加时趋向正态分布的更一般的充分条件。
院 数
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的一理Leabharlann 系 般定理称为中心极限定理。
概
率
论
与 数
定理5(独立同分布的中心极限定理)
计 电
p(6800
7200)
p(
7000

7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
子
教 案
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保
武 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度
汉 科
不高.为此我们研究下面的内容.
率 论
停机的概率?
与 分析:机器停机是独立变量,且服从二项分布.
数 理
n 10, p 0.2, q 0.8, npq 10 0.2 0.8 1.6 1.265
统 计 电 子
(1)直接计算
p(

3)

C130 p q3 103

1098 0.23 3 2
0.87
与 率不少于0.9?
数 理
分析:设n重贝努里试验A出现的次数为

,

服从二项分布
统
计 n重贝努里试验A出现的频率为 /n
电
子 E( ) np 0.75n.D( ) npq 0.750.25n 0.1875n
教
案
武 汉
{0.74 x 0.76} {0.74n x 0.76n} { x 0.75n 0.01n} n
科 技
0.01n
学

D 0.1875n 1875
院 数
p(0.74 n 0.76) p( x 0.75n 0,01n) 1 2 1 (0.01n)2 1
n
0.9
理 系
n 18750
概
率 例4 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概


)

1

2 2
(15)
理
系
概
率
论
与
数 理
P{|
1 n
n i1
[Xi

E(Xi )]|
} 1
D(1 n
n i1
Xi)
/
2
1
C
n 2
统
计 电 子
1
C
n 2

P{|
1 n
n
[Xi
i1
E(Xi )]| } 1
教
案
当n→∞时,取极限就得到(1)式
案 的合理性.
武 贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立
汉 科
对于任意给定的ε>0,有
技
学 院 数 理
lim P{| nA p | } 1
n
n
系
概 lim P{| nA p | } 1
率 n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
论 时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性. 与
论
与率
数 理
是0.7.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在
统 计
6800和7200之间的概率?
电
7200
子
p(6800 7200 )
Ck 10000

0.7k

0.310000k
教
k 6800
案 分析:令 为夜晚同时开着灯的数目.它服从参n=100000,p=0.7
2
理
统
计 电
定理6表明,正态分布也是二项分布的极限分布(二项分布
子 教
的另一极限分布是泊松分布).当n充分大时,我们可利用
案
定理6来计算二项分布的概率.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
概 例1 对敌人某地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸
率 论
弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69.求100
Xi

| } 1(2)
子 教 定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概
案 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛.
武 汉
一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任
科
技 学
意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
与 数
次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率?
理
统
计 分析:令第 I次轰炸命中目标的次数 i .100次轰炸中命中
电 子
目标次数
100
i
教 案
i 1