第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件AB,C中的样本点。
解：Q =｛（正，正）,（正，反）,（反，正）,（反，反）｝；A=｛（正，反），（正，正）｝；B=｛（正，正）,（反，反）｝；C=｛（正，反）,（正，正），（反，正）｝。
2.设P（A）1 ,，试就以下三种情况分别求P（BA）:3（1）AB , （2） A B , （3）P（AB） 18解：(1)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)P(B)0.5(2)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)P(B)P(A) 0.5 1/3 1/6(3)P(BA)P(B AB)P(B)P(AB)0.50.125 0.3753. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
H A1 A,A2 A1A2 A3三种情况互斥P（H） P（A i） P（AjP（A2 | A I） P（AJP（A2 | AjP（A3 | A^）_1 _9 1 _9 8 1 310 10 9 10 9 8 10如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。
P(H|B) PA1|B A1A2| B AA2A3IB)P(A | B) P(A i |B)P(A |BA i) P(A I |B)P(A2 | BA I)P(A3〔B AA)1 4 1 4 3 13■5 5 4 亏巨㊁亏4. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：(1)直到第r次才成功；(2)在n次中取得r(1 r n)次成功；解：(1) P (1 P)r1P (2) P c n p r(1 p)nr5. 设事件A,B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a)必然对，(b)必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。
(1)若A, B互不相容，则它们相互独立。
(2)若A与B相互独立，则它们互不相容。
(3)P(A) P(B) 0.6，则A与B互不相容。
(4)P(A) P(B) 0.6，则A与B相互独立。
解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件(2) c, 独立事件不一定是互斥事件，(3) b, P(A B) P(A) P(B) P(AB)若A 与B 互不相容，则P(AB) 0而P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1.2 1(4) a, 若A与B相互独立，则P(AB) P(A)P(B)这时P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1.2 0.36 0.846. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1) 从乙盒中取出的球是白球的概率;(2) 若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。
解：(1)记A1, A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。
v B二A1B+A2且A1, A2 互斥3 4 1 2 4P(B)二P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= 3 2 4 4 1 3 2 4 4 1= (2)P=3 / 57. 思考题：讨论对立、互斥(互不相容)和独立性之间的关系。
解:独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件；对立事件是互斥事件,不能是独立事件；互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件.第二章随机变量及其概率分布1. 设X的概率分布列为：F(x)为其分布的函数，则F (2) =?解:F(2) P{X 2} P{X 0} P{X 1} P{X 2} 0.32. 设随机变量X的概率密度为f (x)二》，x 1;则常数c等于?0, X 1,解：由于刍dx 刍dx c 1,故c 1X 1x3. 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？解:(1)P{X2} C；0.620.430.2304⑵P{X3} 1 P{X4}P{X 5} 1 C；0.640.4 0.650.66304(3)P{X3}P{X1} P{X2}P{X 3} C；0.6 0.44C；0.620.43C；0.630.4=++=⑷P{X1} 1 P{X0}51 0.4 0.989764 设随机变量K在区间(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。
解：由16k2 4 4 (k 2) 16k2 16k 32 0 可得：k 1,k 2所以P{K 2} 255 假设打一次电话所用时间(单位：分)X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的P(|X|>2),P(X>3);(2)确定 c ,使得 P(X>c) = P(X<c)0.8413 1 0.6915 =X 01P1344Y 12P2 3 55二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2）随机变量Z=XY 的分布律.概率; （2） 10分钟 到20分钟的概率。
解：X ~ f(x) 0.2e 0.2x ,x 0P{X 10} 11002xP{X 10}1 0 0.2e dxP{1020 0 2x 24X 2°}10 °公.dx ee1 1 e2 eP{ 4 10 3、X 10} 2} 1 P{ X 2}1（于(3.5) (2(3.5) 2 (3.5) 1 1 2 3) 1( 0.5)( 2.5)=1 (1(0.5)) 1 (2.5) 1 0.9938 0.6915 0.6977P{X 3} 1 P{X 3} 1学）1 0.5 0.5P{Xc} 1 P{Xc} 1c P{X c}( 2所以(c 23)0.5故c 3P{X7.设随机变量X 与Y 相互独立, 3) 且X, Y 的分布律分别为6. 随机变量X 〜N （3, 4）, (1)求 P(2<X < 5) ,P(- 4<X < 10),5 3解:P{2 X 5}宁）(1) (0.5) (1) 1 (0.5)试求：（1）8. 思考题：举出几个随机变量的例子。
解：抛一枚硬币，出现正面与反面的概率；掷一枚筛子每个面朝上的概率；第三章多维随机变量及其概率分布1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3 个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X, Y）的联合分布律及边缘分布律。
2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分 布律为：试根据下列条件分别求a 和b 的值；(1) P(X 1) 0.6 ；(2) P(X 1 |Y 2)0.5 ；(3) 设F(x)是Y 的分布函数， 解：(1) P{X 1} 0.1 b 0.20.6, b 0.3(2) P{X 0} P{X 1}1, P{X 0}1 P{X 1}求(1)常数 k;(2)P(X<1/2,Y<1/2) ;(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)1 1解:(1) f(x,y)dxdy 0 0k(x y)dxdy k 1,故 k 1⑵P{X1}10 0(xy )dxdy 81 1 x1P{XY 1}(x y) dxdy - ⑶0 0311 13p{X-} 2(xy)dxdy -⑷20 08求(1)常数 k ; (2) P(X+Y<1) ;(3) P(X<1/2)1 x解：(1)f(x,y)dxdy 0 0kxydxdy 与 1,故 k 23. (X 、Y)的联合密度函数为:f(x, y)k(x y) 0 x 1,0 y 1 0 其他F(1.5) 0.5。
0.4 0.3 a a 0.154. (X 、Y)的联合密度函数为:f (x, y)kxy 0 x 1,0 y x 0 其他P{X Y 1} ⑵y2xydxdy1 246 3 65.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函解 : f x (x)f (x, y)dy2(1 x 3)(1 y 2)dy ^75f Y (y)f (x, y)dx6. 设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与Y 的边缘密度函数。
f(x,y)x ce 0 y x 0其他.x解:f x (x)f (x,y)dy 0 e x dy xe x , (0x )f x (x)f (x, y)dx 『e x dx e y , (0 y)(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/183(1 x 2)(1 y 2)dxf(x,y)2(1 x 2)(1 y 2)1P{X 2}2xydxdy1 647. (X, Y) 的联合分布律如下，试根据下列条件分别求a 和b 的值;(1) P(Y 1) 1/3 ；(2) P(X 1| Y 2)0.5 ；(3)已知X 与Y 相互独立。
解:(1) P{Y 1}48 28.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数 c ,并讨论X 与Y 是否相互独立?2cxy 0 x 1, 0 y 1 0 其 他f x (x) f Y (y) f (x, y),故 X 与 Y 相互独立.9. 思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢? 解:联合分布可以得到边缘分布，反之不真.第四章 随机变量的数字特征到的红球的个数，则EX 是：Bf(x,y)f x (x)f(x,y)dxdyf(x,y)dycxy 2dxdy6 1，c =6206xy dy 2x, f y (y)f (x, y)dyo 6xy 2dx3y 21.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X 表示取(A ) 1; (B)； (C); (D ) 2. 2.设X 有密度函数：f(x)邑 2x48其他E(X), E(2X 1), E(解:E(X)彗),并求X 大于数学期望X 243x" 3 4 x dx x2832E(X)的概率。
4 15 2 2则 E(X 2 2X 3)是：D(A ) 1; (B ) 2;(C ) 3;(D ) 4.3. 设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为已知 E(XY) 0.65, 则a 禾口 b 的值是：D(A) a=, b= ; (B ) a=, b= ; (C ) a=, b= ;(D) a=, b=。