山东理工大学成人高等教育机械优化设计复习题
一、填空题
1、搜索区间的确定最常用的是 法，在一维探索时，首先保证探索区间函数具有____________性。

2、工程设计优化问题通常把高维问题转化为 问题求解，采用 方法来近似原目标函数。

3、复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数的 ，还应当满足 。

4、内点惩罚函数法整个迭代过程限制在 ，迭代点均为 。

5、函数在x (k)点的最速下降方向是 方向，最速上升方向是 方向，它们都是函数的 性质。

6、工程设计优化问题可以描述为：在满足给定的 下，选择适当
的 ，使目标函数值达到最优。

7、惩罚函数法包括： 法和 法两种。

8、可行方向法的探索路线有三种 ：（1） ，（2） ，
（3） 。

9、黄金分割法的基本思想是通过计算和比较单峰区间内 ，不断 ，使搜索区间 ，直至极小点所在的区间 ，得到近似最优解。

10、可行域内的任一设计点都代表一个 ，这样的点叫做 点。

二、计算题
1. 对于约束极值问题，试运用K-T 条件判明目标函数
在约束条件下
点X*=[2，0]T 是否为约束极值点。

2、求函数()52212
22122141+-++-=x x x x x x X f 的极值点，极值并判断其性质。

3、求函数121222122123)(x x x x x x f --+=的无约束极值点，并判断它们是极小点、极大()()22213min x x X f +-=..t s ()()()000413222211≤-=≤-=≤-+=x X g x X g x x X g
点还是鞍点？
三、简答题
1、试述黄金分割法首轮搜索区间插入点具有什么特点？
2、试述随机方向法的搜索过程
3、Powell 是如何对其基本算法进行修正的？
4、试述随机方向法的计算过程
5、修正Powell 法是如何确定下一轮迭代的方向组的？
6、变尺度法的基本思想是什么？
7、修正Powell 法是如何确定下一轮迭代的方向组的？
8、无约束优化方法属于间接解法的有哪些？
四、分析题
1、试用牛顿法列出求解 ()87232
41234+---=x x x x X f 近似极小的程序框图。

搜索区间[3,4]，x (0)=4, 精度ε=0.05。

2、分析下列问题是否为凸规划问题
3、以下为某一优化问题的数学模型：
min 21)(x x x f +=
s.t. 1002321≥+x x
0,21≥x x
1）试指出其目标函数，设计变量及约束条件；
2）x (1)=[0,0,]T , x (2)=[10,40]T ,x (3)=[40,50]T 各属于哪类点？
参考答案及要点
一、填空题
1、进退、单峰
2、二维、泰勒展开
3、下降、约束条件
4、可行域之内、可行点
5、函数的负梯度方向；函数的梯度方向；局部性质
6、约束条件；设计变量
7、内点法、外点法
8、从一个约束面到另一个约束面，沿可行下降方向最优搜索，沿约束面搜索
9、两点的函数值；舍弃单峰区间的左端或右端的一部分；探索区间按等比例等速缩小；某.
.min
t s 2221)2()2()(-+-=x x X f 0)(11≤-=x X g 0)(22≤-=x X g 0
4)(22213≤-+=x x X g
一给定的精度
10、可行方案；可行点或内点
二、计算题
1、（1）将点[]T
0,2代入各不等式约束，可知起作用约束为12(),()g X g X （2）计算点[]T
X 0,2=*处的目标函数和起作用约束的梯度向量 ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇02262)0,2(21x x X f ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇1412)0,2(11x X g ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∇102X g （3）可行性检验：应用K-T 条件有
2、1）求函数的驻点
()02222442211213121=⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+-=⎥⎦
⎤∂∂∂∂=∇x x x x x x x f x f X f T []T
X 1,1=* 2）判断是否为极值点
()222211212122(1,1)1(1,1)2212(1,1)
104124244242f f x x x x x x H X x f f x x x ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂∂-⎡⎤-+-⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--∂∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 为正定，所以（1,1）为极小点
3）计算函数极小值：()
*4f X = 3、由极值存在的条件
.()0f x *∇=12
()()()[,][0,0]T T f x f x f x x x ∂∂∇==∂∂
求得121,1,[1,1]T x x x *===即
H （x ）＝3,11,1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
，正定，故x*=[1,1]为极小点。

三、简答题
1、黄金分割法在探索区间的插入点有以下规律：
（1）首轮在区间内插入的两个点与区间两端点的距离相等，即相距两端点具有对称性。

（2）在缩短后的区间内插入一个点，新区间的三段和原区间的三段具有相同的比例分布。

2、（1）初始点的选择；（2）步长的确定 ；（3）N 个随机搜索方向的产生；（4）N 个随机试验点 （5）检查试验点是否为可行点；（6）计算它们的函数值，找出最好点 （7）确定探索方向S ；（8）得新点新点若继续满足可行下降，则继续加大步长进行探索，否则将步长缩短至0.7 进行探索，直至不满足条件，将所得的末点作为下一轮迭代的初始点。

3、在构成新方向组时,不是轮换地去掉原来的第1个方向,而是有选择地去掉某一个不好的方向 ，在最后加上新产生的共轭方向 。

4、①在可行域内选取一个初始点
②随机产生N 个搜索方向和N 个试验点
③找出适用、可行方向
④沿可行方向跨步
若函数值满足下降性，,则继续跨步，直至目标函数值不再下降，将新的起点移至上一次迭代的末点。

5、根据Powell 条件判定是否需重组方向组；①若满足判断条件，则探索方向不变，即n 个方向全部用第K 轮的方向；②若不满足判断条件，则重组方向组，即去掉某一个不好的方向 ，在最后加上新产生的共轭方向。

6、构造一个正定对称矩阵，使它开始为单位矩阵，即开始沿负梯度方向搜索，在以后的迭代过程中不断被修改，使其逐步逼近海赛矩阵的逆阵，这样既有牛顿法的收敛速度，又避免了繁琐的计算。

7、根据Powell 条件判定是否需重组方向组；①若满足判断条件，则探索方向不变，即n 个方向全部用第K 轮的方向；②若不满足判断条件，则重组方向组，即去掉某一个不好的方向 ，在最后加上新产生的共轭方向。

8、无约束优化方法属于间接解法的有（1）梯度法；（2）共轭梯度法；（3）牛顿法；（4）变尺度法等。

四、分析题
1、框图如下：
2、
,0211>=a 2111a a 042212
>=a a Hessian 矩阵为正定矩阵，所以函数是严格凸函数。

约束函数也均为凸函数，所以此问题为凸规划问题。

3、解：
目标函数为： 21)(x x x f +=
设计变量:X=[x 1,x 2]T
约束条件: 1002321≥+x x
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2002)()()()()(222122212212x x f x x x f x x x f x x f x H
0,21 x x
x (1)= x (1)=[0,0,]T 为边界点， x (2)= [10,40]T 为内点 x (3)= [40,50]T 为外点。