函数的间断点极其分类
1、函数的间断点的定义
作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ
设函数f （x ）在点x 0的某去心邻域内有定义。

在此前提下，如果函数 f （x ）满足下列三种情形之一： （1）在x = x 0没有定义；
（2）虽在x = x 0有定义，但 lim f (x ) 不存在；
x→x 0
（3）虽在x = x 0有定义，且 lim f (x ) 存在，但 lim f (x ) ≠ f (x 0)，
x→x 0
x→x 0
那么函数 f （x ）在点x 0处不连续，而点x 0称为函数f （x ）的不连续点或间断点。

2、函数的间断点的分类
（1）第一类间断点
设x 0是函数y = f (x )的间断点，如果f (x )在间断点x 0处的左、右极限都存在， 则称x 0是f (x )的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

左、右极限相等称为可去间断点， 左、右极限不相等则称为跳跃间断点。

【例1】x = 0是f (x ) = sin x 的可去间断点。

x
【解】函数f (x ) = sin x 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。

x 但这里lim sin x = 1，即极限存在。

也就是左极限 = 右极限。

x→0 x
所以 x = 0 称为该函数的可去间断点。

【例2】x = 0是f (x ) = |x | 的跳跃间断点。

x
【解】：函数 f (x ) = |x | 在 x = 0 处没有定义，所以函数在点 x = 0 处不连续。

x 当x < 0 时, f (x ) = |x | = −x = −1; 当x > 0 时, f (x ) = |x | x
x
x
x = x = 1; 那么， lim − f (x ) = lim − −1 = −1， lim + f (x ) = lim + 1 = 1。

lim − f (x ) ≠ lim + f (x ) 。

x→x 0 x→x 0
x→x 0 x→x 0 x→x 0 x→x 0
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

（至少一个单侧极限不存在） 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

【例 1】x = 0 是 f (x ) = 1 的无穷间断点。

x 解：f (x ) = 1 在点 x = 0 处没有定义，所以点x = 0 是函数 f (x ) = 1 的间断点。

x x 因为lim 1 = ∞, 所以称点x = 0 为函数 f (x ) = 1 的无穷间断点。

x→0 x x
【例 2】x = 0 是 f (x ) = sin 1 的振荡间断点。

解：f (x ) = sin 1 在点 x = 0 处没有定义。

x
当 x → 0 时，函数值在− 1 和+ 1 之间变动无限多次。

所以，点 x = 0 称为函数sin 1 的振荡间断点。

x。