o x0
xo1
xo
x0
x
y
y
o
x0
x
o
x
4
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
√ ①在某点没定义
y
②极限不存在
③极限与函数值不相等
o x0
x
不见了
5
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
②极限不存在
2 1
o1
掉队了
√ ③极限与函数值不相等
f(1)=1
ox
12
第二类间断点 如 果 f ( x)在 点x0处 的 左 、 右 极 限
f ( x0 ), f ( x0 )至 少 有 一 个 不 存在, 则 称 点x0为 函 数 f ( x)的 第 二 类 间 断 点.
y
y
o
x0
x
ox
左、右极限都不存在
左极限存在，右极限 不存在
例1
判断函数
f
(x)
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
11
第一类间断点的特点：左右极限都存在
可去间断点 y
可去间断点 y
跳跃间断点 y
2 1
o x0
xo1
x
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
o
x0
x
o
x0
x
y
f (x0 ) f (x0 )
x x0
f (x)
A
f ( x0 )
在某点没定义 极限不存在 极限与函数值不相等
如果上述三个条件中只要有一个不满足,
则称函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为f ( x)的不连续点(或间断点). 3
2、间断点图形举例：函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
y
y
2 1

lim
x0
y0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
1. 间断点的定义
函数 f (x)在点x0处连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
函数 f (x)在点x0处连续必须满足的三个条件:
① f (x)在点x0处有定义;
② lim f ( x)=A(存在);
x x0
③
lim
左右极限至少有一 个不存在
19
再见

x, 1 x,
解： f (0) 0,
x 0, 间断点x 0的类型
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)

1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
xx+0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
xo1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点. 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点.
lim f (x) 2
x
x1
lim f (x) 2 f (1) 1
x1
6
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
①在某点没定义
y
√ ②极限不存在
o
x0
③极限与函数值不相等
f(x0)有定义吗？
x
lim f (x0 )有吗？
xx0
另立山头
7
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
③极限与函数值不相等
o
x0
x
f(x0)有吗？
lim f (x0 )有吗？
xx0
井水不犯河水
8
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y
√ ①在某点没定义
√ ②极限不存在
ox
各自为政
③极限与函数值不相等
f(x0)有吗？
limf (x0)有
xx-0
limf (x0)=不存在
第一类间断点:
跳跃型,
第二类间断点
可去型
思考：极限与连续之间的关系:
f(x)在x0点存在极限
f(x)在 x0 点连续
17
练习：判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
18
1 、函数间断点的定义.
2、 在点 间断的类型:
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点
左右极限都存在
§1.5.3 函数的间断点及其类型
p17
复习
y
y
2
2
四个字概括1
xo 1
x
① a-b=0 说明a与b相等的
ab
② a-b→0 说明a与b接近（几乎）相等
（a与b是紧紧挨着的） a b
极限概念当中的“无穷小”是可以描述“紧紧”跟
随函数
f
( x)在点 x0处连续
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f
(x)


1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
f (0 ) 0, f (0 ) ,
o
x
函数在x 0处不连续，它是为函数的第二类间断点.
16
总结两类间断点: