基于 MATLAB 的地震反应谱与傅里叶谱计算分析
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摘要：地震反应谱特征参数包括平台值和特征周期，其分别表征了地震动的强度特性和频谱特性；傅里叶谱表示 地震波的重要意义有两个，一是检出时间过程中所含的频率分量，另一是进行时域到频域的变换。通过 MATLAB 编程计算分析，标准加速度反应谱峰值 3517.7gal，相对加速度谱峰值为 244.61m/s，析主要影响原因为震中距小， 震源深度浅，震级大；傅里叶振幅谱的最大振幅值为 665.6gal*s，其所对应的频率为 2.5Hz。 关键词：地震反应谱；傅里叶谱；MATLAB；北岭大地震
3 强震记录资料
北岭大地震， 1994 年 1 月 17 日凌晨 4 时 31 分， 洛杉矶地区发生里氏 6.6 级地震，震中位于圣费兰 多峡谷， 北纬 34°12′54″， 西经 118°32′16.8″， 在洛杉矶西北方向 20 英里处， 属浅源地震， 震源深 度 为 18 英 里 。 当 地 震 级 ML=6.6 ， 面 波 震 级 为 MS=6.7（NEIC），地震矩震级为 MW=6.7（CIT）， 持续时间约 30 秒。在持续 30 秒的震撼中，大约有 11000 多间房屋倒塌， 震中 30 公里范围内的高速公 路、高层建筑或毁坏或倒塌，煤气、自来水管爆裂， 电讯中断，火灾四起，直接和间接死亡 58 人，受伤 600 多人，财产损失 300 多亿美元。 本文以北岭大地震中，某县医院台站强震动仪 所记录到的强震记录为例，通过 MATLAB 编程实 现傅里叶谱和地震反应谱的计算， 并进行比较分析。 该台站位于北纬 34°19′33.6″，西经 118°26′ 38.4″，所记录的振动持续时间为 39.98s，峰值加 速度为-1007.942cm/s²，记录时间点在 4.328s；峰值 速度为-124.896cm/s，记录时间点在 3.700s；最大位 移为-31.078cm，记录时间点在 4.200s；初始速度为 -3.694cm/s；初始位移为 298cm。
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的方法，因此对Δt 时段内的系统反应或加速度的变 化规律未做出假定。 事实上， 采用 Fourier 变换方法 求解动力平衡方程时，对输入荷载采用了一个全局 性基本假定，即将非周期的加速度荷载假定为一个 具有有限带宽的周期荷载。在此假定下，加速度荷 载被表达为有限个连续简谐波的线性叠加。因此， 频域方法也是近似方法，不能作为度量其他方法精 度的准则。 傅立叶谱不仅包含幅值信息，而且包含相位信 息，这是地震反应谱所不具备的。所以，当傅里叶 谱与地震反应谱进行比较时，只能采用幅值谱。
Hz，因此可推知 该条地震波对自振周期在 0.4s 左右的建筑物，也就 是说对 5~6 层的钢筋混凝土结构，会产生严重的影
通过对该台站地震记录的计算分析，发现该县
响。
本文通过 MATLAB 编程计算得到了反应谱与 傅里叶谱，由分析总结得出： （1）标准加速度反应谱峰值加速度峰值为 3517.7gal，特征周期短，分析主要影响原因为震中 距小，震源深度浅，震级大。 （2）相对加速度谱的速度峰值为 244.61m/s， 分析其原因也是由于震级大，震源深度浅、震中距 小对其造成的影响。 （3）傅 里 叶 振 幅 谱 的 最 大 振 幅 值 为 665.6gal*s，其所对应的频率为 2.5Hz，可推知该条 地震波对自振周期在 0.4s 左右的建筑物会产生严重 的影响。
图 1 加速度时程曲线 Fig.1 Acceleration time-histories curve
震源深度为 18 公里。 图 3 为速度反应谱，通过最小二乘大拟合利用 MATLAB 编程得到，由计算结果可知，该条强震记 录所对应的相对速度峰值为 244.61m/s， 分析其原因 是由于震级大，震源深度浅、震中距小对其造成的 影响。 4.1 傅里叶谱计算分析 地震波的分量重，哪些分量的振幅大，哪些振 幅小，对地震波的性质有重要的影响。 通过 MATLAB 编程计算分别得到傅里叶振幅 谱、傅里叶相位谱、功率谱和自相关系数谱。
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基于 MATLAB 的傅里叶谱与反应
谱的实现
本文通过 MATLAB2010b 计算软件编程，实现 反应谱与傅里叶谱的计算，进而得出相关参数并进
行对比分析。 4.1 反应谱计算分析
医院台站加速度峰值为 1007.942gal（1.029g），记 录时间在 4.328s，此峰值也是县医院台站本次地震 记录到的最大加速度值。 图 1 为该县医院台站所记录到了加速度时程曲 线，通过 MATLAB 编程计算得出加速度峰值在 1G 左右，且在 4.328 秒位置，该时程曲线记比较完整， 振动衰减清晰可见。 图 2 为台站强震记录通过最小二乘法拟合计算 得到的标准加速度反应谱，由图中可得，该条地震 记录的标准加速度峰值将近 3500gal （3.57g），且 特征周期很短，曲线为高瘦型，分析其影响原因有 二：一是距离震中很近，该县医院台站距离震中仅 有 15.1 公里； 二是震源浅， 属浅源地震， 且震级大，
the peak flat values denote the strength characteristic of ground motions and the characteristic period reflects the stong motion’s characteristic. Fourier spectrum indicates that there are two important meanings of seismic wave, one is the frequency component in the process of detection, the other is to carry out the time domain to the frequency domain. Through MATLAB programming, the peak value of the standard acceleration response spectrum is 3517.7gal, the relative acceleration spectrum is 244.61m/s, and the main influence factors are the small epicenter distance, the shallow source depth, and the large magnitude. The maximum amplitude value of the Fourier amplitude spectrum is 665.6gal*s, and the corresponding frequency is 2.5Hz.
点是其与时程的对应性， 有时程可以获得傅里叶谱， 由傅里叶谱也可以反演出时程 。对于建筑结构而 言，通过地震危险性分析和已有资料的统计回归， 可以确定地震动的相关模型及其关键参数，从而进 行结构的抗震设计，因此实现地震反应谱、傅里叶 谱等计算并对其有较清楚的认识尤为重要。
2 反应谱与傅里叶谱的关系
对于同一条地震动，地震反应谱与傅里叶谱描
Keywords：Seismic response spectrum；Fourier spectrum；MATLAB；Northridge Earthquake
的、平稳的还是非平稳的。傅里叶谱的另外一个优
1 引 言
地震反应谱是进行结构抗震分析与设计的重 要工具，反应谱的计算在反应谱法和时域逐步积分 方法中有重要地位，引起了国内外学者的重视和广 泛研究。而对计算方法优劣的评定常取决于其计算 的耗时、稳定性和精度等因素。反应谱利用一个单 自由度体系的反应间接反映地震的频谱特性；傅里 叶谱则是一种信号分析工具，对于任意时程信号都 可以获得其傅里叶谱，而不论其是随机的还是确定
Analysis of seismic response spectrum and Fourier spectrum based on MATLAB
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Abstract：The characteristic parameters of seismic response spectrum include peak flat value and characteristic period,
图5 Fig.5 傅里叶相位谱
参考文献(References)：
[1] 郭晓云. 汶川地震反应谱研究分析[D]. 哈尔滨： 中国地震局工程力 学 研 究 所 ， 2011.(DUO xiaoyun. Study on response spectrum of WenChuan Earthquake.[D]. Harbin ： Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration ，2011.(in Chinese)) [2] 骆剑锋. 框架结构静力与动力弹塑性抗震分析对比研究[D]. 上海： 同济大学，2007. [3] 张晓志，谢礼立，于海英. 地震动反应谱的数值计算精度和相关问 题[J]. 地震工程与工程振动，2004，24(6)：15-20. [4] 赵凤新，胡聿贤. 地震动非平稳性与幅值谱和相位差谱的关系[J]. 地震工程与工程振动，2003，23(1)：1-5. [5] 金 星， 廖振鹏. 地震动强度包线函数与相位差谱频数分布函数的
图2 Fig.2
标准加速度反应谱
Standard acceleration response spectrum
图4
傅里叶振幅谱
Fig.4 Fourier amplitude spectrum
图 4 为傅里叶振幅谱，通过计算结果可知，该 条强震记录所对应的傅里叶最大振幅值为
图 3 相对速度反应谱 Fig.3 Relative velocity response spectrum
Wilson - 法等，从精度、稳定性和计算效率三个
方面进行了一个简单的定性对比。 2.2 傅里叶谱 傅立叶谱是利用傅立叶分析对地震动时程进行 分解的结果，其基本原理是任意非周期性的复杂函 数均可以表示成简单周期函数的组合，由此可以获 得傅氏幅值谱和傅氏相位谱， 两者合称傅立叶谱[4]。 日本学者大崎顺彦最早强调了加速度时程的相 位谱对时程的影响。同以往研究者不同的是，大崎 顺彦不是直接研究相位谱，而是研究相位差谱对地 震动包线的作用。他发现地震加速度记录的相位差 的频数分布曲线与加速度时程的强度包线形状在一 定程度上具有相似性。 Nigam 研究了均匀调制的高斯白噪声随机过程 的确定性包线同相位谱导数之间的关系； Sawada 推导了相位差谱在窄带内随机分布时窄带波包的到 时同相位差谱的关系；金星等[5]根据群速度与相速 度的关系， 阐明了相位差谱这一综合物理量的含义， 讨论了它与等效群速度的联系。 2.3 两者之间的关系 反应谱计算方法是从时域的角度出发的，而 Fourier 变换方法则是一种不同于时域逐步积分的 方法，而是从频域计算反应谱的方法。由于 Fourier 变换方法不是一个在时域逐步递推求解系统反应量